Poniżej arkusz pracy mający na celu utrwalić umiejętność korzystania z własności logarytmów. Przejdź do arkusza do druku, aby stworzyć swój własny zestaw. Karta ta została stworzona jako uzupełnienie egzaminacyjnego arkusza tematycznego dla maturzystów.

Sprawdzane umiejętności:

korzystanie z własności logarytmów.

Czytaj dalej

9) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, Arkusz maturalny - procenty, Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - procenty

Autor Paweł 4 lutego, 2019 26 września, 2023

Czytaj dalej"Arkusz maturalny - procenty"

Aekusz maturalny - wielomiany, Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - wielomiany

Autor Paweł 4 lutego, 2019 23 lipca, 2025

Czytaj dalej"Arkusz maturalny - wielomiany"

Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - zadania optymalizacyjne

Autor Paweł 4 lutego, 2019 30 czerwca, 2026

Czytaj dalej"Arkusz maturalny - zadania optymalizacyjne"

5. Procenty. Uczeń:, Repetytorium, Repetytorium

Arkusz egzaminacyjny - procenty

Autor Paweł 21 stycznia, 2019 20 listopada, 2020

Zestaw zadań egzaminacyjnych posegregowanych tematycznie z lat ubiegłych. Temat przewodni zestawu - Procenty. Arkusz można wykorzystać w celu przećwiczenia tej tematyki pod kątem egzaminu gimnazjalnego bądź ósmoklasisty.

Czytaj dalej"Arkusz egzaminacyjny - procenty"

11. Bryły. Uczeń:, Repetytorium, Repetytorium

Arkusz egzaminacyjny - bryły

Autor Paweł 9 stycznia, 2019 27 lutego, 2026

Zestaw zadań egzaminacyjnych posegregowanych tematycznie z lat ubiegłych. Temat przewodni zestawu - Bryły. Arkusz można wykorzystać w celu przećwiczenia tej tematyki pod kątem egzaminu gimnazjalnego bądź ósmoklasisty.

Zestaw zadań egzaminacyjnych posegregowanych tematycznie z lat ubiegłych. Temat przewodni zestawu - bryły.

Zadania egzaminacyjne: bryły

Zadanie 15 (0-1) - egzamin ósmoklasisty maj 2024, zadanie 15

8.kl

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe P, a jedna ściana boczna ma pole równe $\frac{2}{9} P$ .

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe A/B

A. $\frac{6}{9} P$

B. $\frac{8}{9} P$

Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy C/D niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.

C. mniejsze

D. większe

Źródło: CKE egzamin ósmoklasisty 15.05.2024

Zobacz odpowiedź

Zadanie 9 (0-1) - egzamin ósmoklasisty maj 2023, zadanie 9

8.kl

Pewien ostrosłup ma 16 wierzchołków.

Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 17

B. 30

C. 32

D. 45

Zobacz odpowiedź

Zadanie 14 (0-1) - egzamin ósmoklasisty maj 2021, zadanie 14

8.kl

Skrzynia ma kształt prostopadłościanu. Podłoga skrzyni ma wymiary 1,5 m i 1,2 m, a wysokość skrzyni jest równa 1 m. Piasek wsypany do skrzyni zajmuje $\frac{3}{4}$ jej pojemności.

Ile metrów sześciennych piasku wsypano do skrzyni? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 1,8 m³

B. 0,45 m³

C. 1,35 m³

D. 2,4 m³

Zobacz odpowiedź

Zadanie 15 (0-1) - egzamin ósmoklasisty maj 2021, zadanie 15

8.kl

Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej 80 cm². Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił oba klocki podstawami tak, jak na rysunku.

Jakie pole powierzchni ma bryła otrzymana przez Stasia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 112 cm²

B. 128 cm²

C. 144 cm²

D. 160 cm²

Zobacz odpowiedź

Zadanie 9 (0-1) - egzamin ósmoklasisty czerwiec 2020, zadanie 9

8.kl

Na kartonowej siatce sześcianu Mariusz nakleił 6 figur tak, jak pokazano na rysunku. Następnie z tej siatki skleił kostkę.

Który rysunek przedstawia kostkę sklejoną przez Mariusza? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Źródło: CKE egzamin ósmoklasisty czerwiec 2020

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2019, zadanie 19

Gim.

Ostrosłup i graniastosłup mają takie same podstawy. Obie bryły mają łącznie 25 wierzchołków.

Ile wierzchołków ma ostrosłup? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 6

B. 8

C. 9

D. 10

Zobacz odpowiedź

Zadanie 20 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2019, zadanie 20

Gim.

Z sześcianu o objętości 27 cm³ usunięto jedną kostkę sześcienną o krawędzi 1 cm. Ściana usuniętej kostki należała do ściany sześcianu, ale żaden z wierzchołków tej kostki nie należał do krawędzi sześcianu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni powstałej bryły jest równe

A. 48 cm²

B. 54 cm²

C. 58 cm²

D. 59 cm²

Zobacz odpowiedź

Zadanie 14 (0-1) - egzamin ósmoklasisty grudzień 2018, zadanie 14

8.kl

Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 2 cm × 2 cm × 9 cm, przyklejono do metalowej płytki w sposób pokazany na rysunku I.

Źródło: CKE - egzamin próbny ósmoklasisty 2018

W ten sposób przygotowano formę, którą wypełniono masą gipsową, i tak otrzymano gipsowy odlew w kształcie prostopadłościanu, pokazany na rysunku II.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Objętość drewna, z którego zbudowano formę, jest równa

A

B

A. 144 cm³

B. 36 cm³

Objętość gipsowego odlewu jest równa

C

D

C. 162 cm³

D. 98 cm³

Zobacz odpowiedź

Zadanie 15 (0-1) - egzamin ósmoklasisty grudzień 2018, zadanie 15

8.kl

Na rysunkach przedstawiono ostrosłup prawidłowy i graniastosłup prawidłowy. Wszystkie krawędzie obu brył są jednakowej długości.

Źródło: CKE - próbny egzamin ósmoklasisty 2018

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest większa niż suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa.	P	F
Całkowite pole powierzchni ostrosłupa jest większe niż całkowite pole powierzchni graniastosłupa.	P	F

Zobacz odpowiedź

Zadanie 20 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2018, zadanie 20

Gim.

Pole podstawy walca jest równe 36π, a pole jego powierzchni bocznej jest 3 razy większe niż pole podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego walca jest równa

A. 3

B. 6

C. 9

D. 18

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2017, zadanie 19

Gim.

Do akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 90 cm, 40 cm, 50 cm wlano 40 litrów wody.

Ile litrów wody należy jeszcze dolać do akwarium, aby sięgała ona do połowy jego wysokości? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 50

B. 70

C. 90

D. 140

Zobacz odpowiedź

Zadanie 20 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2015, zadanie 20

Gim.

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa 36 cm³.

Źródło CKE: egzamin gimnazjalny

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli zdanie jest fałszywe.

Objętość sześcianu jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa.	P	F
Krawędź sześcianu ma długość 3 cm.	P	F

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2015, zadanie 19

Gim.

Szklane naczynie w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm i 18 cm napełniono częściowo wodą i szczelnie zamknięto. Następnie naczynie postawiono na jego ścianie o największej powierzchni i wtedy woda sięgała do wysokości 4 cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kiedy naczynie postawiono na ścianie o najmniejszej powierzchni, to woda sięgała do wysokości

A. 8 cm

B. 10 cm

C. 12 cm

D. 16 cm

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-2) - egzamin ósmoklasisty maj 2024, zadanie 19

8.kl

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek). Krawędź sześcianu ma długość 10 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 9 cm, a jego objętość jest równa 324 cm³.

Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE egzamin ósmoklasisty 15.05.2024

Zobacz odpowiedź

Zadanie 18 (0-2) - egzamin ósmoklasisty grudzień 2018, zadanie 18

8.kl

Cztery jednakowe prostopadłościenne klocki, każdy o wymiarach 2 cm × 1 cm × 1 cm, ułożono tak, jak przedstawiono na rysunku.

Źródło: CKE - egzamin próbny ósmoklasisty - grudzień 2018

Następnie do tej budowli dołożono sześcienne klocki o krawędzi długości 1 cm tak, aby powstał prostopadłościan najmniejszy z możliwych.

Uzupełnij zdania. Wpisz w każdą lukę odpowiednią liczbę.

Liczba sześciennych klocków o krawędzi długości 1 cm, które należy dołożyć do budowli, jest równa ______. Najmniejszy z możliwych prostopadłościanów, który w ten sposób otrzymano, ma wymiary ___ cm × ___ cm × ___ cm.

Zobacz odpowiedź

Zadanie 17 (0-2) - egzamin ósmoklasisty arkusz przykładowy 2018, zadanie 17

8.kl

Na rysunku przedstawiono dwie różne ściany prostopadłościanu. Jedna jest kwadratem o boku 5 cm, a druga – prostokątem o bokach 3 cm i 5 cm.

Źródło: CKE Egzamin ósmoklasisty arkusz przykładowy

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o takich wymiarach. Zapisz obliczenia.

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-3) - egzamin ósmoklasisty maj 2023, zadanie 19

8.kl

Z pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Kształt i wybrane wymiary tej figury przedstawiono na rysunku.

Oblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia

Źródło: CKE egzamin ósmoklasisty 24.05.2023

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-3) - egzamin ósmoklasisty maj 2022, zadanie 19

8.kl

Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego oraz zapisano niektóre wymiary tej siatki.

Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia

Źródło: CKE egzamin ósmoklasisty 25.05.2022

Zobacz odpowiedź

Zadanie 21 (0-3) - egzamin ósmoklasisty maj 2020, zadanie 21

8.kl

Pudełko w kształcie prostopadłościanu o wymiarach przedstawionych na rysunku zawiera 32 czekoladki. Każda czekoladka ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 2 cm, 2 cm i 1,5 cm. Ile procent objętości pudełka stanowi objętość wszystkich czekoladek? Zapisz obliczenia.

Zobacz odpowiedź

Zadanie 21 (0-3) - egzamin ósmoklasisty czerwiec 2020, zadanie 21

8.kl

Podstawą ostrosłupa o wysokości H jest kwadrat. Na rysunku przedstawiono siatkę i podano długości niektórych krawędzi tego ostrosłupa.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE egzamin ósmoklasisty czerwiec 2020

Zobacz odpowiedź

Zadanie 23 (0-3) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2016, zadanie 23

Gim.

Pojemnik z kremem ma kształt walca o promieniu podstawy 4 cm i wysokości 4,5 cm. Po jego otwarciu okazało się, że krem wypełnia tylko wyżłobioną w pojemniku półkulę o promieniu 3 cm. Ile razy objętość tej półkuli jest mniejsza od objętości walca? Zapisz obliczenia.

Źródło CKE: egzamin gimnazjalny 2016

Zobacz odpowiedź

Zadanie 23 (0-4) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2018, zadanie 23

Gim.

Maja zrobiła dwa pudełka w kształcie graniastosłupów prawidłowych czworokątnych o różnych objętościach. Powierzchnię boczną każdego z tych graniastosłupów wykonała z takich samych prostokątów o wymiarach 28 cm i 12 cm (patrz rysunek). Oblicz różnicę objętości tych graniastosłupów. Zapisz obliczenia.

Źródło CKE: egzamin gimnazjalny 2018

Zobacz odpowiedź

Zadanie 23 (0-4) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2017, zadanie 23

Gim.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego i jego siatkę. Dwie dłuższe krawędzie podstawy graniastosłupa mają 12 cm i 13 cm długości, a pole zacieniowanej części siatki graniastosłupa jest równe 168 cm². Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Źródło CKE: egzamin gimnazjalny 2017

Zobacz odpowiedź

Zadanie 23 (0-4) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2015, zadanie 23

Gim.

Po rozklejeniu ściany bocznej pudełka mającego kształt walca otrzymano równoległobok. Jeden z boków tej figury ma długość 44 cm, a jej pole jest równe 220 cm². Oblicz objętość tego pudełka. Przyjmij przybliżenie π równe $\frac{22}{7}$ . Zapisz obliczenia

Źródło CKE: egzamin gimnazjalny 2015

Zobacz odpowiedź

3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami, Arkusz maturalny - pierwiastki, Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - pierwiastki

Autor Paweł 31 grudnia, 2018 10 lipca, 2025

Czytaj dalej"Arkusz maturalny - pierwiastki"

Egzamin próbny ósmoklasisty grudzień 2018

Egzamin ósmoklasisty - próbny - grudzień 2018

Autor Paweł 22 grudnia, 2018 15 kwietnia, 2019

Poniżej znajdują się odnośniki do zadań z egzaminu ósmoklasisty, który odbył się 19.12.2018 r.

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Zadanie 9 (0-1)

Dane są trzy liczby:

Zadanie 8 (0-1)

Do zbiornika wypełnionego w 65% wodą dolano 12 litrów wody. Teraz woda wypełnia 80% pojemności zbiornika.

Zadanie 7 (0-1)

Dane są liczby: a=4√3, b=3√8, c=6√2, d=2√6.

Zadanie 6 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Para liczb (3, –2) spełnia układ równań

Zadanie 5 (0-1)

Kacper zabrał na wycieczkę dwa razy mniej pieniędzy niż Wojtek. Kacper wydał połowę swoich pieniędzy, a Wojtek wydał ¼ swoich

Zadanie 4 (0-1)

Dane są liczby:

Zadanie 3 (0-1)

Na osi liczbowej zaznaczono dwa punkty S i T. Odcinek ST podzielono na 12 równych części.

Zadanie 2 (0-1)

Zosia zebrała 2 kg malin i wsypała je do trzech takich samych pojemników. Masa pustego pojemnika była równa 0,05 kg. Pierwszy pojemnik z malinami miał masę 3/4 kg, a masa drugiego pojemnika z malinami była równa 0,70 kg

Zadanie 1 (0-1)

W dwóch litrowych butelkach była woda. Na wykresie przedstawiono, jak zmieniała się objętość wody w pierwszej butelce w trakcie przelewania do niej całej zawartości drugiej butelki.

Zadania maturalne: kąt wpisany a kąt środkowy

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2026, zadanie 18

Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S. Odcinek BD jest średnicą tego okręgu oraz |∡ABD|=18°. Punkt D leży na krótszym łuku CA (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego BCA jest równa

Zadanie 20 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2025, zadanie 20

Na dziesięciokącie foremnym ABCDEFGHIJ opisano okrąg o środku w punkcie S (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego AGD jest równa

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2025, zadanie 19

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie D. Miara kąta BCA jest równa 50° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego ABO jest równa

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 19

Punkty K, L oraz M leżą na okręgu o środku w punkcie S. Miara kąta KSM jest równa 160° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego KLM jest równa

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 21

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie S. Długość łuku AB, na którym jest oparty kąt wpisany ACB, jest równa długości okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego ACB jest równa

Zadanie 22 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 22

W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych

Miara kąta ostrego BAS jest równa

Zadanie 22 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2023, zadanie 22

W okręgu O kąt środkowy β oraz kąt wpisany α są oparte na tym samym łuku. Kąt β ma miarę o 40° większą od kąta α.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta β jest równa

Zadanie 23 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2023, zadanie 23

Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że |∡ADB| = 20° i |∡DBC| = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta DKC jest równa

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 21

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 70° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie.Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego ABC jest równa

Zadanie 19 (0-1) - test diagnostyczny grudzień 2022

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Ponadto |∡AOC| = 130° oraz |∡BOA| = 110°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wewnętrznego BAC trójkąta ABC jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2022, zadanie 17

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ABD jest równa γ(zobacz rysunek).

Wtedy kąt ABD ma miarę

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 16

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B oraz C. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 82°(zobacz rysunek)

Miara kąta OBC jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 17

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek).

Miara kąta BAC jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 21

Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: |∡SBC|=60°, |∡BCD|=110°, |∡CDA|=90° (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 13

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku O. Miara kąta CAO jest równa 70° (zobacz rysunek).

Miara kąta ABC jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2020, zadanie 17

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2019, zadanie 16

Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że |∢AOB|=70°, |∢OAC|=25°. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa:

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2018, zadanie 16

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie S. Długość łuku AB, na którym jest oparty kąt wpisany ACB, jest równa $\frac{1}{5}$ długości okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie.
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym samym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114^o. Wynika stąd, że:

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe P, a jedna ściana boczna ma pole równe $\frac{2}{9} P$ .