Matura czerwiec 2026 p. podstawowy matematyka - z. 24

Zadanie 24 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2026, zadanie 24

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) odcinek o końcach A=(1, 1) oraz B=(3, -1) jest średnicą okręgu O.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg O jest określony równaniem

A. (x-1)²+(y-1)²=8

B. x²+(y-2)²=2

C. (x-2)²+y²=2

D. (x-2)²+y²=8

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2025/2026 - Matura czerwiec (02.06.2026) poziom podstawowy

Analiza:

Punkty A i B są końcami odcinka AB, który jest średnicą okręgu, stąd wiadomo, że środek okręgu to środek odcinka. Obliczymy jego współrzędne korzystając ze wzoru na środek odcinka:

$x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$

$x_S = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_S = \frac{y_A + y_B}{2}$

$y_S = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Podstawiamy do wzoru okręgu:

$(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 = r^2$

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = r^2$

$(x - 2)^2 + y^2 = r^2$

Niestety mamy dwie podobne odpowiedzi. Musimy policzyć promień. Możemy najpierw korzystając z danych z zadania wyznaczyć średnicę d podstawiając do wzoru na długość odcinka:

$d = \vert{}AB\vert{} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$