Matura maj 2024 p. podstawowy matematyka - z. 31
2024, Egzaminy, Matura, Poziom Podstawowy

Matura maj 2024 p. podstawowy matematyka - z. 31

 , , , ,

Zadanie 31 (0-4) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 31

2023

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2023/2024 - Matura maj (08.05.2024) poziom podstawowy



Analiza:

Liczymy maksymalne pole stąd:

P=ab

Podstawmy z rysunku a=3y, b=x.

P=3xy

Skorzystajmy z długości siatki, aby ograniczyć ilość zmiennych:

6y+4x=36

Stąd możemy wyznaczyć jedną zmienną i ustalić dziedzinę:

6y+4x=36 /:4

1,5y+x=9

x=9-1,5y

Stąd wiemy, że gdy y zmierza do 0 to x zmierza do 9.

Możemy ustalić dziedzinę:

0<x<9

6y+4x=36 /:6

y+\frac{4x}{6}=6

y=6-\frac{2x}{3}

Stąd wiemy, że gdy x zmierza do 0 to y zmierza do 6.

Możemy ustalić dziedzinę:

0<y<6

Teraz podstawmy pod równanie pola jedną z wyznaczonych zmiennych:

P=3xy

P=3x(6-\frac{2x}{3})

P=18x-2x^2

Rozpiszmy na postać iloczynową:

P=2x(9-x)

2x=0

x1=0

9-x=0

x2=9

Ponieważ pole jest wyrażone za pomocą funkcji kwadratowej, której graficznym przedstawieniem jest parabola z ramionami w dół (a=-2<0), to maksimum leży w wierzchołku paraboli. Wyznaczmy p:

x_{Pmax}=\frac{x_1+x_2}{2}

x_{Pmax}=\frac{0+9}{2}=4,5

Podstawmy pod y:

y_{Pmax}=6-\frac{4\cdot 4,5}{6}=6-\frac{18}{6}=6-3=3

Odpowiedź:

Maksymalne pole osiągnięte będzie dla: x=3 i y=4,5



Klasa 7 i 8
Matura poziom podstawowy
Matura poziom rozszerzony
Maj 2025
Czerwiec 2025
Sierpień 2025
Maj 2024
Czerwiec 2024
Sierpień 2024
Grudzień 2024
Informator 2025
Maj 2023
Czerwiec 2023
Sierpień 2023
Wrzesień 2022
Grudzień 2022
Maj
Czerwiec
Sierpień
Marzec
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień
Maj
Czerwiec
Sierpień

2 Comments

    1. Paweł

      Wzór na pole na podstawie rysunku jak najbardziej można zapisać jako 3yx. Mnożenie jest przemienne więc można też zapisać w postaci 3xy, gdzie zmienne ułożone są w kolejności alfabetycznej. Forma zapisu nie wpływa na obliczenia i wynik.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

3 × 1 =