Matura maj 2024 p. podstawowy matematyka - z. 31

Matura maj 2024 p. podstawowy matematyka - z. 31

Zadanie 31 (0-4) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 31

2023

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2023/2024 - Matura maj (08.05.2024) poziom podstawowy



Analiza:

Liczymy maksymalne pole stąd:

P=ab

Podstawmy z rysunku a=3y, b=x.

P=3xy

Skorzystajmy z długości siatki, aby ograniczyć ilość zmiennych:

6y+4x=36

Stąd możemy wyznaczyć jedną zmienną i ustalić dziedzinę:

6y+4x=36 /:4

1,5y+x=9

x=9-1,5y

Stąd wiemy, że gdy y zmierza do 0 to x zmierza do 9.

Możemy ustalić dziedzinę:

0<x<9

6y+4x=36 /:6

y+\frac{4x}{6}=6

y=6-\frac{2x}{3}

Stąd wiemy, że gdy x zmierza do 0 to y zmierza do 6.

Możemy ustalić dziedzinę:

0<y<6


Teraz podstawmy pod równanie pola jedną z wyznaczonych zmiennych:

P=3xy

P=3x(6-\frac{2x}{3})

P=18x-2x^2

Rozpiszmy na postać iloczynową:

P=2x(9-x)

2x=0

x1=0

9-x=0

x2=9

Ponieważ pole jest wyrażone za pomocą funkcji kwadratowej, której graficznym przedstawieniem jest parabola z ramionami w dół (a=-2<0), to maksimum leży w wierzchołku paraboli. Wyznaczmy p:

x_{Pmax}=\frac{x_1+x_2}{2}

x_{Pmax}=\frac{0+9}{2}=4,5

Podstawmy pod y:

y_{Pmax}=6-\frac{4\cdot 4,5}{6}=6-\frac{18}{6}=6-3=3

Odpowiedź:

Maksymalne pole osiągnięte będzie dla: x=3 i y=4,5



2 Comments

    1. Paweł

      Wzór na pole na podstawie rysunku jak najbardziej można zapisać jako 3yx. Mnożenie jest przemienne więc można też zapisać w postaci 3xy, gdzie zmienne ułożone są w kolejności alfabetycznej. Forma zapisu nie wpływa na obliczenia i wynik.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

96 ÷ 16 =