Zadanie 34 (0-2) |
Funkcja kwadratowa f(x)=x2+bx+c nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że 1+c>b.
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy
Analiza:
Zaczynamy z automatu:
Ponieważ założenie zadania to fakt, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych to delta musi być mniejsza od zera:
Δ = b2- 4ac < 0
Ponieważ a = 1 to:
Δ = b2- 4c < 0
Do zbadania mamy drugą nierówność:
1 + c > b
Spróbujmy poszukać wyrażenia, które jednoznacznie powie nam, że układ tych dwóch nierówności jest spełniony dla każdego b i c. Wyznaczmy z obu jedną i tą samą niewiadomą. Wybierzmy c, ponieważ jest w pierwszej potędze, a tym samym nie tracimy informacji o znaku.
b2- 4c < 0
-4c < -b2 /:(-4)
c > 0,25b2
1 + c > b
c > b - 1
Widać, że c jest zawsze większe zarówno od (-0,25b2) jak i (b - 1). Teraz musimy postawić sobie zasadnicze pytanie - co jest większe. W ustaleniu tej relacji pomoże Ci prześledzenie wykresów funkcji, które budujemy z obu wyrażeń:
f(x) = 0,25b2
wykres czerwony
g(x) = b - 1
wykres niebieski
Widać, że f(x) ≥ g(x).
Zapiszmy zatem odpowiadającą tej relacji nierówność:
0,25b2 ≥ b - 1
Teraz już pewnie widzisz, że zmierzamy do przyrównania do 0 wyrażenia, które spróbujemy opisać wzorem skróconego mnożenia:
b2 ≥ b - 1 /·4
b2 ≥ 4b + 4
b2 - 4b + 4 ≥ 0
(b - 2)2 ≥ 0
Co jest spełnione dla każdego b. Zatem nierówność 1 + c > b jest prawdziwa, ponieważ wraz z warunkiem na brak miejsc zerowych prowadzi do słusznego wniosku.
Odpowiedź:
Co należało udowodnić.