Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2+2n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2015/2016 - Matura maj poziom podstawowy
Analiza:
Napiszmy wzory na dwa kolejne wyrazy ciągu. Pierwszy mamy podany w zadaniu:
an=2n2+2n
Kolejny wyraz dla n+1 opisujemy wzorem:
an+1=2(n+1)2+2(n+1)
Dodajmy oba wyrazy:
an+an+1=2n2+2n+2(n+1)2+2(n+1)
an+an+1=2n2+2n+2(n2+2n+1)+2n+2
an+an+1=2n2+4n+2n2+4n+2+2
an+an+1=4n2+8n+4
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a2+2ab+b2=(a+b)2
an+an+1=(2n+2)2
Ostatnie równanie dowodzi założenia zadania - "suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej."
Matura - poziom podstawowy
Matura 2018 - poziom podstawowy
czerwiec
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
sierpień
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Egzaminy maturalne - archiwum
2017
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2016
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2015
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie chwilowo niedostępne
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2014
Egzamin maturalny w starej formule. Zadania z matury podstawowej z matematyki 2014 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
