Matura czerwiec 2024 p. podstawowy matematyka - z. 5

Zadanie 5 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 5

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 5n³−5n jest podzielna przez 30.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2023/2024 - Matura czerwiec (04.06.2024) poziom podstawowy

Analiza:

Wyciągnijmy 5n przed nawias:

5n(n²-1)

Zauważ, że n²-1 to wzór skróconego mnożenia:

5n(n-1)(n+1)

Zauważ, że n-1, n, n+1 to kolejne liczby naturalne. W związku z tym przynajmniej jedna z nich jest parzysta (oznaczmy ją jako 2m) i jedna z nich jest podzielna przez 3 (oznaczmy ją jako 3o). Trzecią z tych liczb oznaczmy jako p. Stąd po podstawieniu otrzymujemy:

5·2m·3o·p

Stąd wymnażając:

30·mop

Odpowiedź:

Co należało udowodnić.

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony