Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - geometria analityczna - poziom rozszerzony

Zadania maturalne: geometria analityczna

Zadanie (0-2) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 17

2023

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są dwie proste l₁ oraz l₂. Kąt między tymi prostymi ma miarę 45°. Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l₁ jest równy $\frac{2}{3}$

Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l₂. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 9

2015

Dane są prosta k o równaniu x−2y=0 i prosta l o równaniu 2x+y−1=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+4. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 10

2015

Prosta przechodząca przez punkty A=(8, −6) i B=(5, 15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Zadanie 7 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 7

<2015

Prosta o równaniu 3x-4y-36=0 przecina okrąg o środku S=(3, 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 7 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 7

<2015

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x²+y²+2x-2y-3=0 poprowadzonymi przez punkt A=(2, 0).

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2025, zadanie 8

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi O₁ oraz O₂ o równaniach:

• O₁: (x−1)²+(y+3)²=5

• O₂: (x−2)²+(y−4)²=45.

Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek $\overrightarrow{AM}=-2\cdot \overrightarrow{BM}$

Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 12

2015

Prosta o równaniu x + y −10 = 0 przecina okrąg o równaniu x² + y² −8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 12

2015

Prosta l, na której leży punkt P=(8,2), tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej l.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 13

2015

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(-5, 3) i B=(0, 6 ) , którego środek leży na prostej o równaniu x-3y+1=0.

Zadanie 9 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 9

<2015

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=17 i |BC|=10. Na boku AB leży punkt D taki, że |AD|:|DB|=3:4 oraz DC=|10|. Oblicz pole trójkąta ABC.

Zadanie 8 (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2011, zadanie 8

<2015

Punkty A=(-5, 5), C=(8. 6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB||CD. Prosta o równaniu y=2x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.

Zadanie 8 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 8

<2015

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji

Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3, −1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

Zadanie 13 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2002, zadanie 13

<2015

Sprawdź, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P((x, y)) = (x + 1, –y) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu

x² + y² – 2x = 0

w przekształceniu P.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2024, zadanie 11

2015

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta o równaniu 3x+y+2=0 przecina parabolę o równaniu y=x²−2x−8 w punktach A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2}x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa $\frac{9\sqrt{10}}{5}$ .

Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2025, zadanie 11

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A=(−8,−1) i D=(−13,9) oraz środku symetrii M=( $-\frac{9}{2}$ , 1). Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu O jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu O. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 6

2023

Prosta k o równaniu x+y−9=0 przecina parabolę o równaniu $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$ w punktach A oraz B. Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C.

Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 14

2015

Dane są okrąg o₁ o równaniu (x-6)²+(y-4)²=98 oraz okrąg o₂ o promieniu 2√5. Środki okręgów o₁ i o₂ leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=−3x−6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o₂.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 14

2015

Punkt A=(−3, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x−1. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2019, zadanie 11

2015

Dane są okręgi o równaniach x²+y²-12x-8y+43=0 i x²+y²-2ax+4y+a²-77=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 13

2015

Punkt A=(-2, 6) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x-y-5=0. Wyznacz długość boku tego rombu.

Zadanie 7 (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 7

<2015

Punkt A=(-2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

Zadanie 14 (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2002, zadanie 14

<2015

Zaznacz na płaszczyźnie zbiór

Napisz równania osi symetrii figury F.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2011, zadanie 11

Dane są proste k: 2x − 3y + 6 = 0 oraz l: 2x + 4y − 7 = 0. Na prostej k wyznacz punkt, którego obraz symetryczny względem prostej l leży na osi Oy. Sporządzić rysunek.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Gdańska) lipiec 1991, zadanie 2

W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A(1, 3) oraz równanie środkowej y = 7 i równanie wysokości x + 4y − 51 = 0. Wiedząc, że środkowa i wysokość wychodzą z różnych wierzchołków trójkąta, podaj równania boków tego trójkąta.

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Zadania maturalne: geometria analityczna

Zadanie (0-2) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 17

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są dwie proste l1 oraz l2. Kąt między tymi prostymi ma miarę 45°. Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l1 jest równy

Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l2. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 9

Dane są prosta k o równaniu x−2y=0 i prosta l o równaniu 2x+y−1=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+4. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 10

Prosta przechodząca przez punkty A=(8, −6) i B=(5, 15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Zadanie 7 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 7

Prosta o równaniu 3x-4y-36=0 przecina okrąg o środku S=(3, 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 7 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 7

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x2+y2+2x-2y-3=0 poprowadzonymi przez punkt A=(2, 0).

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2025, zadanie 8

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi O1 oraz O2 o równaniach:

• O1: (x−1)2+(y+3)2=5

• O2: (x−2)2+(y−4)2=45.

Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek

Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 12

Prosta o równaniu x + y −10 = 0 przecina okrąg o równaniu x2 + y2 −8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 12

Prosta l, na której leży punkt P=(8,2), tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej l.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 13

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(-5, 3) i B=(0, 6 ) , którego środek leży na prostej o równaniu x-3y+1=0.

Zadanie 9 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 9

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=17 i |BC|=10. Na boku AB leży punkt D taki, że |AD|:|DB|=3:4 oraz DC=|10|. Oblicz pole trójkąta ABC.

Zadanie 8 (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2011, zadanie 8

Punkty A=(-5, 5), C=(8. 6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB||CD. Prosta o równaniu y=2x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.

Zadanie 8 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 8

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji

Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3, −1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

Zadanie 13 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2002, zadanie 13

Sprawdź, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P((x, y)) = (x + 1, –y) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu

x² + y² – 2x = 0

w przekształceniu P.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2024, zadanie 11

Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2025, zadanie 11

Wyznacz równanie okręgu O. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 6

Prosta k o równaniu x+y−9=0 przecina parabolę o równaniu w punktach A oraz B. Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C.

Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 14

Dane są okrąg o1 o równaniu (x-6)2+(y-4)2=98 oraz okrąg o2 o promieniu 2√5. Środki okręgów o1 i o2 leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=−3x−6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o2.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 14

Punkt A=(−3, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x−1. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2019, zadanie 11

Dane są okręgi o równaniach x2+y2-12x-8y+43=0 i x2+y2-2ax+4y+a2-77=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 13

Punkt A=(-2, 6) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x-y-5=0. Wyznacz długość boku tego rombu.

Zadanie 7 (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 7

Punkt A=(-2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

Zadanie 14 (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2002, zadanie 14

Zaznacz na płaszczyźnie zbiór

Napisz równania osi symetrii figury F.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2011, zadanie 11

Dane są proste k: 2x − 3y + 6 = 0 oraz l: 2x + 4y − 7 = 0. Na prostej k wyznacz punkt, którego obraz symetryczny względem prostej l leży na osi Oy. Sporządzić rysunek.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Gdańska) lipiec 1991, zadanie 2

W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A(1, 3) oraz równanie środkowej y = 7 i równanie wysokości x + 4y − 51 = 0. Wiedząc, że środkowa i wysokość wychodzą z różnych wierzchołków trójkąta, podaj równania boków tego trójkąta.

Poziom klasy 7 i 8

Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)

Poziom szkoły średniej (poziom rozszerzony)

Maj 2025

Czerwiec 2025

Sierpień 2025

Maj 2024

Czerwiec 2024

Sierpień 2024

Grudzień 2024

Informator 2025

Maj 2023

Czerwiec 2023

Sierpień 2023

Wrzesień 2022

Grudzień 2022

Maj 2022

Czerwiec 2022

Sierpień 2022

Marzec 2021

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są dwie proste l₁ oraz l₂. Kąt między tymi prostymi ma miarę 45°. Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l₁ jest równy $\frac{2}{3}$

Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l₂. Zapisz obliczenia.

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x²+y²+2x-2y-3=0 poprowadzonymi przez punkt A=(2, 0).

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi O₁ oraz O₂ o równaniach:

• O₁: (x−1)²+(y+3)²=5

• O₂: (x−2)²+(y−4)²=45.

Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek $\overrightarrow{AM}=-2\cdot \overrightarrow{BM}$

Prosta o równaniu x + y −10 = 0 przecina okrąg o równaniu x² + y² −8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Dane są okrąg o₁ o równaniu (x-6)²+(y-4)²=98 oraz okrąg o₂ o promieniu 2√5. Środki okręgów o₁ i o₂ leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=−3x−6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o₂.

Dane są okręgi o równaniach x²+y²-12x-8y+43=0 i x²+y²-2ax+4y+a²-77=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.