Matura sierpień 2021 p. podstawowy matematyka - z. 31

Matura sierpień 2021 p. podstawowy matematyka - z. 31

Zadanie 31 (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność

b(5b-4a)+a2≥0

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura sierpień (24.08.2021) poziom podstawowy



Analiza:

Wymnóżmy:

b(5b-4a)+a2≥0

a2-20ab+5b2≥0

Zauważ, że wyrażenie po lewej stronie jest podobne do wzoru skróconego mnożenia x2-2xy+y2=(x-y)2

Widać, że a=x. Jednak, aby otrzymać y musimy rozbić 5b2=4b2+b2. Zapiszmy nierówność

a2-20ab+4b2+b2≥0

gdzie a2-20ab+4b2=(a-2b)2

Otrzymujemy więc:

(a-2b)2+b2≥0

W zbiorze liczb rzeczywistych suma kwadratów jest zawsze nieujemna, ponieważ poszczególne składowe sumy podniesione do kwadratu są zawsze nieujemne.



Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

72 ÷ = 8