Matura czerwiec 2025 p. podstawowy matematyka - z. 5

Zadanie 5 (0-3) - matura poziom podstawowy czerwiec 2025, zadanie 5

2023

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a²−b² jest podzielna przez 5.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2024/2025 - Matura maj (04.06.2025) poziom podstawowy

Analiza:

Stwórzmy liczbę podzielną przez 5:

$5n$ , gdzie $n$ jest całkowite

Stąd liczba, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1 możemy zapisać:

$a=5n+1$

Podobnie dla liczby, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4 otrzymujemy:

$b=5n+4$

Zwróć tylko uwagę, że a i b nie muszą być najbliższymi liczbami, to aby uwzględnić ten fakt zamieńmy n na k gdzie k należy do liczb całkowitych.

$b=5k+4$

Podstawmy doi wyrażenia:

$a^2-b^2$

$(5n+1)^2-(5k+4)^2$

Skorzystajmy z wzorów skróconego mnożenia:

$(5n)^2+2\cdot5n\cdot1+1^2-((5k)^2+2\cdot5k\cdot4+4^2)$

$25n^2+10n+1-(25k^2+40k+16)$

$25n^2+10n+1-25k^2-40k-16$

$25n^2-25k^2+10n-40k-15$

Wyciągnijmy 5 przed nawias dzieląc każdy wyraz przez 5:

$5(5n^2-5k^2+2n-8k-3)$

Ponieważ $5n^2-5k^2+2n-8k-3$ jest całkowite dla każdego k i n należących do zbioru liczb całkowitych to dla a i b spełniających warunki zadania wyrażenie

a^2-b^2

jest podzielne przez 5.

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Zadanie 5 (0-3) - matura poziom podstawowy czerwiec 2025, zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a2−b2 jest podzielna przez 5.

Poziom klasy 7 i 8

Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)

Poziom szkoły średniej (poziom rozszerzony)

Sierpień 2026

Maj 2023

Czerwiec 2023

Sierpień 2023

Wrzesień 2022

Grudzień 2022

Maj 2022

Czerwiec 2022

Sierpień 2022

Marzec 2021

Maj 2021

Czerwiec 2021

Sierpień 2021

Maj 2020

Czerwiec 2020

Sierpień 2020

Maj 2019

Czerwiec 2019

Sierpień 2019

Maj 2018

Czerwiec 2018

Sierpień 2018

Maj 2017

Czerwiec 2017

Sierpień 2017

Maj 2016

Czerwiec 2016

Sierpień 2016

Maj 2015

Czerwiec 2015

Sierpień 2015

Maj 2014

Czerwiec 2014

Sierpień 2014

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a²−b² jest podzielna przez 5.