Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 28

Zadanie 28 (0-2)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

3a2-2ab+3b2≥0.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura maj poziom podstawowy


Analiza:

W nierówności pojawiają się elementy wzoru skróconego mnożenia:

a2-2ab+b2=(a-b)2

To spróbujmy doprowadzić tą nierówność do identycznej postaci:

3a2-2ab+3b2=2a2+a2-2ab+b2+2b2 =(a-b)2+2a2+2b2

W tej postaci wykonujemy tylko dodawania poszczególnych wyrazów. Jeżeli żadne wyrażenie nie będzie mniejsze od 0, to nierówność 3a2-2ab+3b2≥0 będzie prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Sprawdźmy poszczególne wyrażenia:

(a-b)2≥0

Wynika to z faktu, że niezależnie, co otrzymamy w nawiasie po wykonaniu odejmowania (czy liczbę dodatnią czy ujemną) to, po podniesieniu do kwadratu otrzymamy liczbę dodatnią. Dla a=b otrzymamy 0, co podniesione do kwadratu też nam da 0.

Podobnie z wyrażeniami:

2a2 i 2b2

Zawsze będą nieujemne, bo po podniesieniu dowolnej liczby rzeczywistej do kwadratu otrzymamy dodatnią liczbę rzeczywistą.

Stąd wynika że suma tych wyrażeń także jest dodatnia.

Odpowiedź:

Co należało udowodnić


Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

maj

 

 

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

 

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

÷ 1 = 7