Zadanie 28 (0-2)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

3a²-2ab+3b²≥0.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura maj poziom podstawowy

Analiza:

W nierówności pojawiają się elementy wzoru skróconego mnożenia:

a²-2ab+b²=(a-b)²

To spróbujmy doprowadzić tą nierówność do identycznej postaci:

3a²-2ab+3b²=2a²+a²-2ab+b²+2b² =(a-b)²+2a²+2b²

W tej postaci wykonujemy tylko dodawania poszczególnych wyrazów. Jeżeli żadne wyrażenie nie będzie mniejsze od 0, to nierówność 3a²-2ab+3b²≥0 będzie prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Sprawdźmy poszczególne wyrażenia:

(a-b)²≥0

Wynika to z faktu, że niezależnie, co otrzymamy w nawiasie po wykonaniu odejmowania (czy liczbę dodatnią czy ujemną) to, po podniesieniu do kwadratu otrzymamy liczbę dodatnią. Dla a=b otrzymamy 0, co podniesione do kwadratu też nam da 0.

Podobnie z wyrażeniami:

2a² i 2b²

Zawsze będą nieujemne, bo po podniesieniu dowolnej liczby rzeczywistej do kwadratu otrzymamy dodatnią liczbę rzeczywistą.

Stąd wynika że suma tych wyrażeń także jest dodatnia.

Odpowiedź:

Co należało udowodnić

Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

maj

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

czerwiec

Zadanie na chwilę obecną niedostępne

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie z odpowiedzią bez analizy