|
Zadanie 14 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 14 |
2023 |
Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x, y) dokładnie dwa punkty wspólne: M=(0,18) oraz N=(3,0).
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f. Zapisz obliczenia.
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2023/2024 - Matura czerwiec (04.06.2024) poziom podstawowy
Analiza:
Zauważ, że punkt M jest punktem przecięcia z osią Oy. Stąd możemy wyciągnąć wniosek, że c w postaci ogólnej jest równe 18.
c=18
Podstawmy do f(x)=Ax2+Bx+C:
f(x)=ax2+bx+18
Podstawmy współrzędne punktu N (3, 0):
0=a·32+3b+18
0=9a+3b+18 /:3
0=3a+b+6
Mamy dwie zmienne, potrzebujemy jeszcze jednego równania. Są tylko dwa punkty z osiami, wynika z tego, że jest tylko jedno miejsce zerowe, które jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli. Stąd współrzędne punktu N są kolejno:
p=3 i q=0.
Skorzystajmy z współrzędnej x-owej wierzchołka:
czyli:
3·2a=-b
b=-6a
Tak wyznaczone b podstawmy do równania 0=3a+b+6
0=3a-6a+6
0=-3a+6
3a=6/:(3)
a=2
b=-6a=-6·2=-12
Otrzymujemy:
f(x)=2x2-12x+18
Skorzystajmy z postaci kanonicznej, ponieważ punkt N jako jedyne miejsce zerowe jest wierzchołkiem paraboli:
f(x)=a(x-p)2+q
Podstawmy p=3, q=0.
f(x)=a(x-3)2+0
f(x)=a(x-3)2
Podstawmy współrzędne punktu M:
18=a(0-3)2
18=a(-3)2
18=9a/:9
a=2
Podstawmy do równania f(x)=a(x-3)2:
f(x)=2(x-3)2
Można przekształcić do postaci ogólnej, aby sprawdzić czy c=18 (punkt M jest przecięciem z osią Oy to c musi być równe 18):
f(x)=2(x2-6x+9)
f(x)=2x2-12x+18
Odpowiedź:
Równanie funkcji ma postać f(x)=2x2-12x+18