Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz |APC| =α i |ABC| = β (zobacz rysunek). Wykaż, że α= 180°−2β.
Źródło CKE - Arkusz maturalny 2017 - poziom podstawowy
Analiza:
Sposobów na rozwiązanie tego zadania znajdziecie kilka. O 5 z nich pisze CKE w ściądze dla egzaminatorów, którzy sprawdzają Wasze maturalne wypociny. Ja się skupię na sposobie, który wypisałem sobie przed chwilą na moim brudnopisie. Może kiedyś powrócę do tego zadania i omówię kolejne sposoby. Na przykładzie tego zadania widać doskonale, że nie musicie postępować szablonowo w zadaniach otwartych. Nie jest istotny sposób dotarcia do wyniku, ale matematyczna/logiczna poprawność rozumowania i prawidłowej interpretacji rozwiązania. Czyli póki myślicie logicznie i zgrabnie zapisujecie swoje myśli na kartce, a dodatkowo wyciągniecie odpowiednie wnioski lub dojdziecie do wyniku to zadanie będzie zaliczone.
Na rysunku zauważyć można czworokąt , którego suma kątów równa jest . Zapiszmy to:
Znamy wartości następujących kątów:
i podane są bezpośrednio w treści zadania. Wartość kąta jest równa . Wynika to z faktu, że jest to kąt zawarty między promieniem , a styczną do okręgu w punkcie . Podstawmy, to co już wiemy:
Została nam jeszcze do ustalenia wartość kąta : Znajdziemy to z pomocą trójkąta równoramiennego . Ponieważ kąt jest prosty (kąt między styczną a promieniem przecinające się w tym samym punkcie), to kąt . Ponieważ , to możemy wyznaczyć wartość ostatniego szukanego kąta :
Zapytasz skąd te . To wartość kąta półpełnego . Podstawmy do sumy kątów czworokąta:
Odpowiedź:
Relacja między kątami i opisana jest relacją , co należało udowodnić.
Matura - poziom podstawowy
Matura 2018 - poziom podstawowy
czerwiec
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
sierpień
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Egzaminy maturalne - archiwum
2017
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2016
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2015
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie chwilowo niedostępne
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2014
Egzamin maturalny w starej formule. Zadania z matury podstawowej z matematyki 2014 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.