Matura maj 2023 p. podstawowy matematyka - z. 3

Zadanie 3 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 3

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+1)²-1 jest podzielna przez 8.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2022/2023 - Matura maj (08.05.2023) poziom podstawowy

Analiza:

Wykonajmy wzór skróconego mnożenia:

(2n+1)²-1=4n²+4n+1-1=4n²+4n

Wyciągnijmy 4n przed nawias:

4n(n+1)

Zwróć uwagę, że aby liczba była podzielna przez 8 musi składać się z liczby podzielnej przez 4 i dodatkowo jednej liczby parzystej. Wynik, który powyżej otrzymaliśmy jest iloczynem 4 i dwóch kolejnych liczb naturalnych n i n+1. Jedna z tych liczb (n lub n+1) jest parzysta. Zatem cały iloczyn jest podzielny przez 8.