Oznaczmy sobie pozostałe długości boków:

Obwód trójkąta jest sumą długości boków. Zapiszmy to:

$Ob_{\bigtriangleup}=\color{green}{x} + \color{red}{y} + \color{orange}{a}$

Mamy niestety dwie zmienne: x i y. Aby wyznaczyć obwód należy wyliczyć obie zmienne. Zauważ ... mamy tutaj trójkąt prostokątny, znamy wartość jednego kąta i jednego boku. Zatem pierwsze co powinno Ci przyjść do głowy to fakt, że możemy wyznaczyć x i y korzystając z sin i cos. Dzięki temu obie długości będą opisane przez długość a:

$sin 30^\circ=\frac{\color{orange}{a}}{\color{green}{x}}$ (rysunek poniżej)

$cos 30^\circ=\frac{\color{red}{y}}{\color{green}{x}}$ (rysunek poniżej)

Pokaż szczegółowy opis Ukryj szczegółowy opis

Z sinusa wyznaczmy x

$sin 30^\circ=\frac{\color{orange}{a}}{\color{green}{x}}/\cdot{\color{green}{x}}$

$sin 30^\circ \cdot{\color{green}{x}}=\frac{\color{orange}{a}}{\color{green}{x}}\cdot{\color{green}{x}}$

Podzielmy przez $sin 30^\circ$, aby po lewej stronie równania została tylko niewiadoma:

$sin 30^\circ \cdot{\color{green}{x}}={\color{orange}{a}}/sin 30^\circ$

${\color{green}{x}}=\frac{\color{orange}{a}}{sin 30^\circ}$

$sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, (wartości możesz sprawdzić w tablicach trygonometrycznych i w tablicach dostępnych na twojej ławce podczas matury)

${\color{green}{x}}=\frac{\color{orange}{a}}{\frac{1}{2}}$

Ułamek w mianowniku równy jest: $\frac{\color{orange}{a}}{\frac{1}{2}}=2{\color{orange}{a}}$

${\color{green}{x}}=2{\color{orange}{a}}$

Mamy już x, z cosinusa wyznaczmy y:

$cos 30^\circ=\frac{\color{red}{y}}{\color{green}{x}}$

Podstawmy x:

$cos 30^\circ=\frac{\color{red}{y}}{2\color{orange}{a}}$

Pozbądźmy się mianownika:

$cos 30^\circ=\frac{\color{red}{y}}{2\color{orange}{a}}/ \cdot{2\color{orange}{a}}$

Zamieńmy stronami:

${\color{red}{y}}=cos 30^\circ \cdot{2\color{orange}{a}}$

${\color{red}{y}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot{2\color{orange}{a}}$

${\color{red}{y}}=\sqrt{3}{\color{orange}{a}}$

Podstawmy do wzoru na obwód wszystkie wartości:

$Ob_{\bigtriangleup}=\color{green}{x} + \color{red}{y} + \color{orange}{a}$

$Ob_{\bigtriangleup}=\color{green}{2a} + \color{red}{\sqrt{3}a} + \color{orange}{a}$

Wyłączmy wspólny czynnik a poza nawias:

$Ob_{\bigtriangleup}=(\color{green}{2} + \color{red}{\sqrt{3}} + \color{orange}{1})\color{orange}{a}$

$Ob_{\bigtriangleup}=(2 + 1 + \color{red}{\sqrt{3}})\color{orange}{a}$

$Ob_{\bigtriangleup}=(3 + \color{red}{\sqrt{3}})\color{orange}{a}$