Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - Ciągi - poziom rozszerzony

Zadania maturalne: Ciągi

Zadanie (0-1) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 5

2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\frac{1}{4}$ . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $rac{3}{7}$

B. $rac{1}{7}$

C. $rac{7}{3}$

D. 7

Zadanie (0-2) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 5

2015

Ciąg (a_n), jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorem $a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}$ , gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa $\frac{4}{3}$

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie (0-2) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 6

2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) a określony dla n ≥1, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 10

2015

Dany jest ciąg (a_n) określony dla każdej liczby całkowitej n≥1 , w którym a₄=4 oraz dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwa jest równość a_n+1=a_n+n-4 . Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Zadanie 6 (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2014, zadanie 6

<2015

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio α, 2α i 4α⁄. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2025, zadanie 6

2023

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a₁+a₃=20 i a₁²+a₃²=328.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2024, zadanie 7

2015

Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x, y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1.

Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 10

2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek |q|<1. Stosunek sumy S_N wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S_P wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum,

tj. $\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P$ . Oblicz q.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 10

2015

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a₁=675 i $a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}.$

Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a₃ =b₄. Oblicz b₁.

Zadanie (0-4) - arkusz pokazowy poziom rozszerzony marzec 2022, zadanie 3

2023

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.

Wyznacz wszystkie wartości n, dla których spełniona jest nierówność

$|\frac{S-S_n}{S_n}|<0,001$

gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Zapisz obliczenia.

Zadanie 5 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 5

<2015

O ciągu (x_n) dla n≥1 wiadomo, że:

a) ciąg (a_n)określony wzorem a_n=3^x_n dla n≥1 jest geometryczny o ilorazie q=27.

b) x₁+x₂+…+x₁₀=145.

Oblicz x₁.

Zadanie (0-4) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 2

2023

Liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej 7. Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby 7.

Wykaż, że iloczyn a·b·c jest podzielny przez 294.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 10

2015

Ciąg (a_n) jest arytmetyczny, a ciąg (b_n) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a₁ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (b_n). Wyrazy ciągu (a_n) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz b₁ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (a_n). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (b_n) jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2025, zadanie 9

2023

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a₆=15 oraz a₁₅=a₃⋅(a₈−6).

Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b₁=a₁₁ oraz b₂=a₆.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n). Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-5) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 16

2023

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Ciąg (a₁⋅a₂, a₂⋅a₃, a₃⋅a₁) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.

Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 10

2015

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a₁, a₂ , a₃) spełniona jest równość $a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}$ . Wyrazy a₁, a₂ , a₃ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a₁.

Zadanie 5 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 5

<2015

Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a+b+c=33, natomiast ciąg (a-1, b+5, c+19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Zadanie 3 (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2011, zadanie 3

<2015

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a+3, 2b, c=12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c.

Zadanie 5 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 5

<2015

O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a+c=10 , zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 14

2015

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a-2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Zadanie 8 (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2014, zadanie 8

<2015

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2021, zadanie 4

Długości boków trapezu opisanego na okręgu są liczbami naturalnymi i są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trapezu wynosi 24. Obliczyć pole oraz dłuższą przekątna trapezu. Sporządź rysunek.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2011, zadanie 4

Logarytmy (przy ustalonej podstawie) z liczb:

tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznaczyć x.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Gdańska) lipiec 1992, zadanie 4

Na paraboli y = 48 − x² znaleźć wszystkie punkty (x, y), takie, że liczby 3, x, y tworzą ciąg geometryczny.

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Zadania maturalne: Ciągi

Zadanie (0-1) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 5

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie (0-2) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 5

Ciąg (an), jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorem , gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (an) jest równa

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie (0-2) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 6

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) a określony dla n ≥1, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 10

Dany jest ciąg (an) określony dla każdej liczby całkowitej n≥1 , w którym a4=4 oraz dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwa jest równość an+1=an+n-4 . Oblicz pierwszy wyraz ciągu (an) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Zadanie 6 (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2014, zadanie 6

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2025, zadanie 6

Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a1+a3=20 i a12+a32=328.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2024, zadanie 7

Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x, y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (an), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1.

Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 10

tj. . Oblicz q.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 10

Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a1=675 i

Ciąg (bn), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (bn). Ponadto a3 =b4. Oblicz b1.

Zadanie (0-4) - arkusz pokazowy poziom rozszerzony marzec 2022, zadanie 3

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.

Wyznacz wszystkie wartości n, dla których spełniona jest nierówność

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an).

Zapisz obliczenia.

Zadanie 5 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 5

O ciągu (xn) dla n≥1 wiadomo, że:

a) ciąg (an)określony wzorem an=3xn dla n≥1 jest geometryczny o ilorazie q=27.

b) x1+x2+…+x10=145.

Oblicz x1.

Zadanie (0-4) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 2

Liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej 7. Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby 7.

Wykaż, że iloczyn a·b·c jest podzielny przez 294.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 10

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2025, zadanie 9

Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a6=15 oraz a15=a3⋅(a8−6).

Ciąg (bn), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b1=a11 oraz b2=a6.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (bn). Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-5) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 16

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Ciąg (a1⋅a2, a2⋅a3, a3⋅a1) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.

Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 10

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1, a2 , a3) spełniona jest równość . Wyrazy a1, a2 , a3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a1.

Zadanie 5 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 5

Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a+b+c=33, natomiast ciąg (a-1, b+5, c+19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Zadanie 3 (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2011, zadanie 3

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a+3, 2b, c=12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c.

Zadanie 5 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 5

O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a+c=10 , zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 14

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a-2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Zadanie 8 (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2014, zadanie 8

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2021, zadanie 4

Długości boków trapezu opisanego na okręgu są liczbami naturalnymi i są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trapezu wynosi 24. Obliczyć pole oraz dłuższą przekątna trapezu. Sporządź rysunek.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2011, zadanie 4

Logarytmy (przy ustalonej podstawie) z liczb:

tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznaczyć x.

Zadanie - egzamin wstępny na studia (Politechnika Gdańska) lipiec 1992, zadanie 4

Na paraboli y = 48 − x² znaleźć wszystkie punkty (x, y), takie, że liczby 3, x, y tworzą ciąg geometryczny.

Poziom klasy 7 i 8

Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)

Poziom szkoły średniej (poziom rozszerzony)

Maj 2025

Czerwiec 2025

Sierpień 2025

Maj 2024

Czerwiec 2024

Sierpień 2024

Grudzień 2024

Informator 2025

Maj 2023

Czerwiec 2023

Sierpień 2023

Wrzesień 2022

Grudzień 2022

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\frac{1}{4}$ . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Ciąg (a_n), jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorem $a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}$ , gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa $\frac{4}{3}$

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) a określony dla n ≥1, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Dany jest ciąg (a_n) określony dla każdej liczby całkowitej n≥1 , w którym a₄=4 oraz dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwa jest równość a_n+1=a_n+n-4 . Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a₁+a₃=20 i a₁²+a₃²=328.

Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x, y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1.

tj. $\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P$ . Oblicz q.

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a₁=675 i $a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}.$

Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a₃ =b₄. Oblicz b₁.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.

gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n).

O ciągu (x_n) dla n≥1 wiadomo, że:

a) ciąg (a_n)określony wzorem a_n=3^x_n dla n≥1 jest geometryczny o ilorazie q=27.

b) x₁+x₂+…+x₁₀=145.

Oblicz x₁.

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a₆=15 oraz a₁₅=a₃⋅(a₈−6).

Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b₁=a₁₁ oraz b₂=a₆.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n). Zapisz obliczenia.

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Ciąg (a₁⋅a₂, a₂⋅a₃, a₃⋅a₁) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a₁, a₂ , a₃) spełniona jest równość $a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}$ . Wyrazy a₁, a₂ , a₃ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a₁.