Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 35

2021, 5. Ciągi, 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, 5.4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.5.3, III.5.4, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 35

Autor Paweł 4 marca, 2021 2 stycznia, 2023

Zadanie 35 (0-5)

Rosnący ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy a₃, a₅, a₁₃ tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n).

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Analiza:

Skorzystajmy z sumy 5 pierwszych wyrazów ciągu:

$S_5 = \frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5= 10$

$\frac{a_1+a_1+4r}{2}\cdot 5= 10 /\cdot 2$

$(2a_1+4r)\cdot 5= 20$

$10a_1+20r= 20/:10$

$a_1+2r= 2$

Mamy dwie zmienne, potrzebujemy drugiego równania. Tym razem skorzystajmy z relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego:

$a_3\cdot a_{13} = a_5^2$

$(a_1+2r)\cdot (a_1+12r) = (a_1+4r)^2$

$a_1^2+12a_1r+2a_1r+24r^2=a_1^2+8a_1r+16r^2$

$a_1^2+14a_1r+24r^2-a_1^2-8a_1r-16r^2=0$

$6a_1r+8r^2=0/:2$

$3a_1r+4r^2=0$

Możemy to teraz rozwiązać jak układ równań, ale to zostawię Tobie. Tutaj policzymy innym sprytnym sposobem:

Zauważ że

$3a_1r+4r^2=0$

możemy zapisać:

$r(3a_1+4r)=0$

Stąd otrzymujemy r₁=0. Odrzucamy tę odpowiedź ze względu na założenie zadania - ciąg rosnący. Do rozwiązania may jeszcze:

$3a_1+4r=0$

Zauważ, że jak dodamy 2i jednocześnie odejmując otrzymamy:

$3a_1+4r+2r-2r=0$

$3a_1+6r-2r=0$

$3(a_1+2r)-2r=0$

gdzie wartość wyrażenia w nawiasie jest równa 2 (otrzymaliśmy to na początku zadania z sumy 5 pierwszych wyrazów):

$3(2)-2r=0$

$6-2r=0$

$-2r=-6/:(-2)$

$r_2=3$

Możemy teraz z jednego z równań łączących a₁ z r wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu:

$a_1+2r= 2$

$a_1+2\cdot 3= 2$

$a_1+6= 2$

$a_1= -4$

Podstawmy do ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1+(n-1)r$

$a_n=-4+(n-1)3$

$a_n=-4+3n-3$

$a_n=3n-7$

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu: a_n= 3n-7.

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi