Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 32

2020, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;, 8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, 8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.8.3, IV.8.4, IV.8.5, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 32

By Paweł 10 czerwca, 2020 15 czerwca, 2023

Zadanie 32 (0-4) - matura poziom podstawowy maj 2020

2015

Dany jest kwadrat ABCD, w którym $A=(5, -\frac{5}{3})$ . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y=\frac{4}{3}x$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (09.06.2020) poziom podstawowy

Analiza:

Mamy do czynienia z kwadratem, więc punkt A musi leżeć na prostej prostopadłej do prostej, która zawiera przekątną BD. Wyznaczmy jej równanie. Pamiętając, że współczynniki kierunkowe prostych wzajemnie prostopadłych spełniają warunek:

a₁·a₂=-1

Współczynnik a w prostej zawierającej przekątną BD jest równy $\frac{4}{3}$ , obliczmy a₂:

$\frac{4}{3}\cdot a_2=-1 /:\frac{4}{3}$

$a_2=-1 \cdot \frac{3}{4}$

$a_2=-\frac{3}{4}$

Otrzymaliśmy już współczynnik kierunkowy. Aby wyznaczyć wyraz wolny w równaniu prostej $y=-\frac{3}{4}x+b$ podstawmy współrzędne puntu A, który należy do tej prostej:

$-\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}\cdot 5+b$

$-\frac{5}{3}=-\frac{15}{4}+b$

$b=-\frac{20}{12}+\frac{45}{12}$

$b=\frac{25}{12}$

Równanie prostej zawierającej przekątną AC ma postać:

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}$ .

Środek znajdziemy rozwiązując układ równań złożony z obu prostych AC i BD:

$\left\{ \begin{array}{ll} y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}\\y=\frac{4}{3}x\end{array} \right.$

Odejmijmy stronami:

$y-y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}-\frac{4}{3}x$

$-\frac{9}{12}x+\frac{25}{12}-\frac{16}{12}x=0$

$-\frac{25}{12}x=-\frac{25}{12}/:-\frac{25}{12}$

$x=1$

Podstawmy x=1 do jednego z równań prostych, by wyznaczyć współrzędną y punktu przecięcia:

$y=\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}\cdot 1=\frac{4}{3}$

Otrzymaliśmy punkt przecięcia prostych, a tym samym przekątnych $O(1,\frac{4}{3})$

Pozostaje nam policzyć pole. Aby to zrobić posłużymy się wzorem na pole kwadratu liczone za pomocą długości przekątnych.

Warto wiedzieć:

Równanie dostępne jest w tablicach maturalnych na stronie 10. Co potwierdza moje stwierdzenie, że

jeżeli nie wiadomo o co chodzi, to jest to w tablicach
autor oblicza

Musimy jednak owo równanie delikatnie zmodyfikować. Podany jest tam wzór na pole rombu:

$P=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|$

Ale przecież kwadrat to też romb! Nasze równanie możemy uprościć do:

$P=\frac{1}{2}d\cdot d=\frac{1}{2}d^2$

Aby obliczyć długość przekątnej obliczmy najpierw odległość między punktami A i O:

$|AO|=\sqrt{(x_O-x_A)^2+(y_O-y_A)^2}$

$|AO|=\sqrt{(1-5)^2+(\frac{4}{3}-(-\frac{5}{3}))^2}$

$|AO|=\sqrt{(-4)^2+(\frac{4}{3}+\frac{5}{3})^2}$

$|AO|=\sqrt{16+(\frac{9}{3})^2}$

$|AO|=\sqrt{16+3^2}$

$|AO|=\sqrt{16+9}$

$|AO|=\sqrt{25}$

$|AO|=5$

Ponieważ |AO| to połowa przekątnej to:

d=2|AO|=2·5=10

Podstawmy to do wzoru na pole liczone z przekątnych (wyznaczone w sekcji warto wiedzieć):

$P=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}\cdot 10^2=\frac{1}{2}\cdot 100=50$

Odpowiedź:

Pole kwadratu jest równe 50, a punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne $O=(1, \frac{4}{3})$

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi