Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x2-8xy+5y2≥0.
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2014/2015 - Matura maj poziom podstawowy
Analiza:
Zauważ, że kwadraty dwóch zmiennych oraz ich iloczyn składają się na wyrażenie bardzo podobne do wzoru skróconego mnożenia:
x2-2xy+y2=(x-y)2
Spróbujmy sprowadzić lewą stronę nierówności do postaci takiej, jak lewa strona wzoru:
4x2-8xy+5y2=4x2-8xy+4y2+y2=4(x2-2xy+y2)+y2
Wyraz 5y2 rozpisaliśmy na sumę 4y2+y2. Z 4(x2-2xy+y2) stosując wzór skróconego mnożenia otrzymujemy:
4(x2-2xy+y2)=4(x-y)2
Ostatecznie otrzymujemy:
4x2-8xy+5y2=4(x-y)2+y2
Wyrazy 4(x-y)2 i y2 zawsze są większe od zera. Stąd wynika, że ich suma też jest większa od zera. Co należało udowodnić:
4x2-8xy+5y2=4(x-y)2+y2≥0
Matura - poziom podstawowy
Matura 2018 - poziom podstawowy
czerwiec
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
sierpień
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Egzaminy maturalne - archiwum
2017
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2016
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2015
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie chwilowo niedostępne
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2014
Egzamin maturalny w starej formule. Zadania z matury podstawowej z matematyki 2014 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
