Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 23

Zadanie 23 (0-4)

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego i jego siatkę. Dwie dłuższe krawędzie podstawy graniastosłupa mają 12 cm i 13 cm długości, a pole zacieniowanej części siatki graniastosłupa jest równe 168 cm2. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego i jego siatkę.

Źródło CKE - Arkusz ezgaminacyjny 2017/2018





Analiza:

Szukane

Pp = ?

H = ?

h = ?

Oznaczmy dane na rysunku:

Na rysunku przedstawiono graniastosłup

Z treści zadania wiemy, że podstawą jest trójkąt prostokątny. Znamy długości dwóch jego boków, więc wołamy na pomoc Pitagorasa.

Z jego twierdzenia wiemy, że kwadrat przeciwprostokątnej (najdłuższego boku w trójkącie prostokątnym) jest równa sumie kwadratów długości pozostałych boków. Co możemy zgrabnie zapisać:

132 = 122 + h2

h2 = 132 - 122

h2 = 169 - 144

Obustronnie spierwiastkujmy, aby otrzymać h:

h2 = 25 /√

h = 5

No i pięknie. Jesteśmy w stanie wyznaczyć stąd h. Ale po co? ... Chociażby dlatego, że pole podstawy jest niezbędne do policzenia objętości tej bryły. A pole trójkąta prostokątnego sprowadza nam się do prostego wzoru wyprowadzonego z ogólnego założenia że P jest równe połowie długości podstawy trójkąta razy długości wysokości, co matematyk, który patrzy na wypocony przez nas rysunek zapisze jako:

Pp = P=\(\frac{1}{2}12h\)=\(\frac{1}{2}12\cdot5=6\cdot5=30\)

Uff. Połowa sukcesu. Zacieniowany obszar ma pole równe 168 cm2. W jego skład wchodzą dwie podstawy o polu równym 30 cm2, które wcześniej wyznaczyliśmy oraz prostokąt o nieznanym polu. Przyjrzy się temu prostokątowi. Jego pole jest równe różnicy pola zacieniowanego i dwukrotności pola podstawy:

P=168 - 2·30

P=168 - 60

P=108

Dobra. Wiemy, że pole tego prostokąta jest równe 108 cm2, a jego jeden bok równy jest 12 cm, drugi H, to z wzoru na pole prostokąta mamy:

12·H = 108 /:12

H = 9 cm

Mnożąc pole podstawy razy wysokość graniastosłupa otrzymujemy:

V = Pp·H = 30·9 = 270 cm3

Odpowiedź:
Objętość graniastosłupa wynosi 270 cm3.






Egzaminy gimnazjalne

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 23
5 (100%) 2 głos[ów]

Egzamin gimnazjalny 2018

2018

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzamin gimnazjalny 2018
Oceń tą treść

Egzamin gimnazjalny 2017

2017

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzamin gimnazjalny 2017
Oceń tą treść

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 23
5 (100%) 2 głos[ów]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.