Matura sierpień 2023 p. podstawowy matematyka - z. 4

Zadanie 4 (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2023, zadanie 4

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 3n³+18n²+15n jest podzielna przez 6.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2022/2023 - Matura czerwiec (22.08.2023) poziom podstawowy

Analiza:

Aby wykazać, że liczba 3n³+18n²+15n jest podzielna przez 6 należy przedstawić ją jako iloczyn liczb, z których przynajmniej jedna jest podzielna przez 3 i przynajmniej jedna jest parzysta. Najprościej w pierwszej kolejności wyciągnąć czynnik przed nawias. Najlepiej, aby on już był liczbą, która spełnia jeden z powyższych warunków.

Wyciągnijmy 3n:

3n(n²+6n+5)

Czynnik w nawiasie jest wyrażeniem kwadratowym. Skorzystajmy z delty i przekształćmy na postać iloczynową:

Δ=b²-4ac

Δ=6²-4·1·5

Δ=36-20

Δ=16

√Δ=4

Stąd:

$n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$n_1=\frac{-6-4}{2}$

$n_1=\frac{-10}{2}$

$n_1=-5$

$n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$n_2=\frac{-6+4}{2}$

$n_2=\frac{-2}{2}$

$n_2=-1$

Zapiszmy teraz liczbę 3n(n²+6n+5) w postaci iloczynowej:

3n(n+1)(n+5)

Składnikiem powyższego iloczynu jest 3, która jest liczbą podzielna przez 3, oraz jeden z czynników n lub n+1 jest parzysty. Stąd wynika, że cała liczba jest podzielna przez 6.

Odpowiedź:

Co należało udowodnić.

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony