Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 29

Zadanie 29 (0-2)

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Źródło: CKE matura 2019 poziom podstawowy

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura maj poziom podstawowy


Analiza:

Oznaczmy na rysunku znane kąt

W trójkącie CBS kąty BCE i BSE są takie same (trójkąt CBS jest równoramienny z ramionami o długości r ). Mają miarę . Wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°. to kąt CBS ma miarę:

Kąt ABC jest kątem półpełnym. Stąd znając wartość kąta CBS możemy policzyć wartość kąta ABS:

Ponieważ trójkąta ABS także jest równoramienny z ramionami o długości r to kąty ABS i BAS też mają taką samą miarę.

Kolejny element układanki - kąt ASB. Jego miarę ponownie wyznaczymy z sumy kątów w trójkącie:

No i jesteśmy na finiszu. Ponownie mamy kąt półpełny. Tym razem DSE. Znamy jego dwie składowe BSE i ASB. Ostatnią składową jest kąt którego szukamy:

Co należało udowodnić.


Dla dociekliwych:

Na tym to zadanie można zakończyć. Jako mały bonus pod przyciskiem poniżej dostępna jest karta z Geogebry z tym zadaniem. Możesz tam sam zobaczyć jak zachowuje się ta struktura geometryczna podczas zmiany jej parametrów.

WAŻNE!!! Dla uzasadnienia animacji, ale nie istotne w zadaniu. Relacja jest spełniona tylko wtedy gdy BC jest poza okręgiem lub punkt C znajduje się na okręgu. W pozostałych relacja o której mowa w zadaniu nie jest spełniona.


Matura - poziom podstawowy

5.0
03

Matura 2018 - poziom podstawowy

maj

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

4.7
18

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

5.0
01

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

5.0
03

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

− 2 = 6