Matura czerwiec 2024 p. podstawowy matematyka - z. 24

2024, Egzaminy, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom podstawowy - czerwiec

Matura czerwiec 2024 p. podstawowy matematyka - z. 24

By Paweł 4 czerwca, 2024 25 czerwca, 2024

Zadanie 24 (0-4) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 24

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A=(2,8) oraz B=(10,2). Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P.

Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka AP. Zapisz obliczenia.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2023/2024 - Matura czerwiec (04.06.2024) poziom podstawowy

Analiza:

Wykonajmy szybki rysunek:

Symetralna to prosta prostopadła do AB przechodząca przez środek tego odcinka. Wyznaczmy więc środek:

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}$

$x_S=\frac{2+10}{2}$

$x_S=\frac{12}{2}$

$x_S=6$

$y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$

$y_S=\frac{8+2}{2}$

$y_S=\frac{10}{2}$

$y_S=5$

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_1=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

$a_1=\frac{2-8}{10-2}$

$a_1=\frac{-6}{8}$

$a_1=-\frac{3}{4}$

Mając środek odcinka oraz współczynnik kierunkowy prostej AB wyznaczmy równanie prostej prostopadłej. Skorzystajmy z warunku na prostopadłość:

$a_1\cdot a_2=-1$

$a_1\cdot a_2=-1/: a_1$

$a_2=-\frac{1}{a_1}$

gdzie $a_1=-\frac{3}{4}$ , to otrzymamy:

$a_2=-\frac{1}{-\frac{3}{4}}$

$a_2=\frac{4}{3}$

Otrzymujemy równanie podstawiając punkt S (6, 5):

$y=\frac{4}{3}x+b$

$5=\frac{4}{3}\cdot 6+b$

$5=8+b$

$b=5-8$

$b=-3$

Stąd równanie symetralnej ma postać:

$y=\frac{4}{3}x-3$

Punkt P to miejsce zerowe prostej prostopadłej:

Wyznaczmy jego współrzędne wiedząc, że współrzędna y jest równa 0:

$y=\frac{4}{3}x-3$

$0=\frac{4}{3}x-3$

$\frac{4}{3}x=3/:\frac{4}{3}$

$x=3\cdot \frac{3}{4}$

$x=\frac{9}{4}$

Odległość możesz policzyć z wzoru na długość odcinka, lub szybciej z trójkąta ATP za pomocą Twierdzenia Pitagorasa. Metody te są równoważne, ponieważ samo równanie na długość odcinka wynika bezpośrednio z Twierdzenia Pitagorasa. Poniżej skorzystamy z trójkąta:

$|AP|^2=(\frac{1}{4})^2+8^2$

$|AP|^2=\frac{1}{16}+64$

$|AP|^2=\frac{1}{16}+\frac{1024}{16}$

$|AP|^2=\frac{1025}{16}/\sqrt{}$

$|AP|=\sqrt{\frac{1025}{16}}$

$|AP|=\frac{\sqrt{1025}}{\sqrt{16}}$

$|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}$

Odpowiedź:

Punkt P ma współrzędne $(\frac{9}{4}, 0)$ , a długość odcinka AP wynosi $\frac{5\sqrt{41}}{4}$

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi