Kategoria: <span>7. Planimetria</span>

Kąt wpisany a kąt środkowy w okręgu

Między dwoma kątami opartymi na tej samej cięciwie, z których jeden jest kątem środkowym a drugim wpisanym w okrąg zachodzi relacja: 

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego w okrąg.

Twierdzenie to możesz sprawdzić na interaktywnej karcie poniżej.

Czytaj dalej"Kąt wpisany a kąt środkowy w okręgu"

Arkusz maturalny - kąt środkowy a kąt wpisany

Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - kąt wpisany a kąt środkowy - poziom podstawowy


Zadania maturalne: kąt wpisany a kąt środkowy

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 21

2023

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 70° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie.
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego ABC jest równa

A. 10°

B. 20°

C. 35°

D. 40°

Zadanie 19 (0-1) - test diagnostyczny grudzień 2022

2023

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Ponadto |∡AOC| = 130° oraz |∡BOA| = 110°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wewnętrznego BAC trójkąta ABC jest równa

A. 60°

B. 55°

C. 50°

D. 65°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 16

2015

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B oraz C. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 82°(zobacz rysunek)

Miara kąta OBC jest równa

A. 41°

B. 45°

C. 49°

D. 51°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 17

2015

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek).

Miara kąta BAC jest równa

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 21

2015

Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: |∡SBC|=60°, |∡BCD|=110°, |∡CDA|=90° (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa

A. 25°

B. 30°

C. 35°

D. 40°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 13

2015

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku O. Miara kąta CAO jest równa 70° (zobacz rysunek).

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Miara kąta ABC jest równa

A. 20°

B. 25°

C. 30°

D. 35°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2020, zadanie 17

2015

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Źródło CKE: matura poziom podstawowy 2018

Miara kąta ABC jest równa

A. 59°

B. 48°

C. 62°

D. 31°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2019, zadanie 16

2015

Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że |∢AOB|=70°, |∢OAC|=25°. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa:

Źródło CKE: matura poziom podstawowy 2019

A. α=25°

B. α=60°

C. α=70°

D. α=85°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2018, zadanie 16

2015

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111°. Wynika stąd, że

Źródło CKE: matura poziom podstawowy 2018

A. α=74°

B. α=76°

C. α=70°

D. α=72°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2018, zadanie 7

2015

Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa

A. 91°

B. 72,5°

C. 18°

D. 32°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2018, zadanie 17

2015

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym samym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114o. Wynika stąd, że:

A. β=10o

B. β=38o

C. β=57o

D. β=76o

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2017, zadanie 15

2015

Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę

Na okręgu o środku w punkcie O - kąt wpisany oparty na średnicy - rysunek do zadania
kąt wpisany oparty na średnicy

A. 116°

B. 114°

C. 112°

D. 110°

Zadanie  (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2015, zadanie 16

2015

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

A.

B. 10°

C. 20°

D. 30°




Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 33

Zadanie 33 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2022

2015

Dany jest trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB tego trapezu jest równa 26, a ramię BC ma długość 24. Przekątna AC tego trapezu jest prostopadła do ramienia BC (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia AD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura czerwiec (02.06.2022) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 33"

Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 19

Zadanie 19 (0-1)

Pole rombu o obwodzie 20 i kącie rozwartym 120° jest równe

A. \frac{25\sqrt{3}}{2}

B. \frac{5\sqrt{3}}{2}

C. \frac{25}{2}

D. \frac{25\sqrt{3}}{4}

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura czerwiec (02.06.2022) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 19"

Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 18

Zadanie 18 (0-1)

Trójkąt ABC jest prostokątny. Odcinek AD jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A na przeciwprostokątną BC. Wtedy

A. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}

B. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AD|}

C. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AB|}

D. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|BD|}

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura czerwiec (02.06.2022) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 18"

Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 17

Zadanie 17 (0-1)

Na trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O. Miara kąta ABC jest równa 65°. Miara kąta ACO jest równa

A. 130°

B. 25°

C. 65°

D. 50°

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura czerwiec (02.06.2022) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura czerwiec 2022 p. podstawowy matematyka - z. 17"

Matura maj 2022 p. podstawowy matematyka - z. 33

Zadanie 33 (0-2)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura maj (05.05.2022) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2022 p. podstawowy matematyka - z. 33"

Matura maj 2022 p. podstawowy matematyka - z. 20

Zadanie 20 (0-1)

Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe

A. 30√3

B. 30

C. 60√3

D. 60

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura maj (05.05.2022) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2022 p. podstawowy matematyka - z. 20"

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 16

Zadanie 16 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

2015

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B oraz C. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 82°(zobacz rysunek)

Miara kąta OBC jest równa

A. 41°

B. 45°

C. 49°

D. 51°

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 16"

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 14

Zadanie 14 (0-6)

Dane są parabola o równaniu y=x2 oraz punkty A=(0, 2) i B=(1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 14"

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 13

Zadanie 13 (0-4)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 13"

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 8

Zadanie 8 (0-3)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD|=|AE|=13 |AB|. Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 8"

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 33

Zadanie 33 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku przecina boki AB i BC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \frac{3}{2}. Oblicz długość boku trójkąta AKL.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 33"

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 21

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: |∡SBC|=60°, |∡BCD|=110°, |∡CDA|=90° (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa

A. 25°

B. 30°

C. 35°

D. 40°

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 21"

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 18

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tg \alpha =\frac{2}{5} (zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta jest równe

A. 12

B. \frac{37}{3}

C. \frac{62}{5}

D. \frac{64}{5}

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 18"

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 17

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek).

Miara kąta BAC jest równa

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 17"

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 31

Zadanie 31 (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021

2015

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość a i b. Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że promień r tego okręgu jest równy \frac{ab}{a+b}

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 31"

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 23

Zadanie 23 (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021

2015

W trapezie równoramiennym ABCD podstawy AB i CD mają długości równe odpowiednio a i b (przy czym a>b). Miara kąta ostrego trapezu jest równa 30°. Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

A. \frac{a-b}{2}\cdot \sqrt{3}

B. \frac{a-b}{6}\cdot \sqrt{3}

C. \frac{a+b}{2}

D. \frac{a+b}{4}

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 23"

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 17

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021

2015

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą DE równoległą do podstawy AB (zobacz rysunek).

Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta CDE jest równy

A. 9:4

B. 4:1

C. 4:9

D. 3:2

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 17"

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 16

Zadanie 16 (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021

2015

W romb o boku 2\sqrt{3} i kącie 60° wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

A. 3

B. \frac{1}{2}

C. \frac{3}{4}

D. \frac{3}{2}

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 16"