Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (an), określony dla liczb naturalnych n≥1, o wyrazach dodatnich. Jeśli a2+a9=a4+ak, to k jest równe:
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura czerwiec poziom podstawowy
Analiza:
Rozwiązanie formalne:
Zapiszmy a2, a4 i a9 korzystając z definicji - n-ty wyraz ciągu (an=a1+(n-1)r):
a2 = a1+ r
a4 = a1+ 3r
a9 = a1+ 8r
Podstawmy do naszego równania:
a2+a9=a4+ak
ak=a2+a9-a4
ak=a1+r+a1+8r-(a1+3r)
ak=2a1+9r-a1-3r
ak=a1+6r
ak=a1+(k-1)r
Stąd wynika, że 6=k-1, czyli k=7.
W przypadku ciągu arytmetycznego zadanie możemy też rozwiązać jak poniżej: Napiszmy sobie pierwszych kilka wyrazów:
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Zaznaczmy pierwsza sumę:
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a2+a9
Sumy każdej pary równo oddalonych elementów ciągu od środka kolejno ułożonych wyrazów, są sobie równe. Zauważ, że jeżeli podzielisz takie sumy na 2 to otrzymasz średnią arytmetyczną dwóch wyrazów. Spójrzmy na kolejne sumy, których wartość jest stała:
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a2+a9=a3+a8
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Stad wynika, że:
a2+a9=a4+a7
Odpowiedź:
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
Matura - poziom podstawowy
Matura 2018 - poziom podstawowy
czerwiec
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
sierpień
Zadanie na chwilę obecną niedostępne
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Egzaminy maturalne - archiwum
2017
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2016
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2015
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie chwilowo niedostępne
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2014
Egzamin maturalny w starej formule. Zadania z matury podstawowej z matematyki 2014 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
