Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - zadania optymalizacyjne - poziom rozszerzony

Zadania maturalne: zadania optymalizacyjne

Zadanie (0-4) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 7

2023

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480+x) litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

$K(x)=\frac{22x^2-621,5x+23430}{480+x}$ , gdzie x∈[0, 50].

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 27

2023

Dany jest okrąg o promieniu R. Rozważamy wszystkie trójkąty spełniające warunki:

• są wpisane w ten okrąg

• mają obwody równe 3R

• mają jeden z boków dwukrotnie dłuższy od drugiego.

Znajdź trójkąt o możliwie największym polu przy zadanych warunkach. Oblicz jego pole. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 28

2023

Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach 10 cm×16 cm, odcinając z każdego rogu kwadrat o boku x cm (zobacz rysunek).

Oblicz wartość x, dla której objętość otrzymanego pudełka będzie największa. Oblicz tę największą objętość pudełka. Zapisz obliczenia

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem $P(b)=\frac{(18-2b)\cdot\sqrt{18b-81}}{2}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC| = |BC|), na których opisano okrąg o promieniu R = 1. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta.

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem

$P(x)=(x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.

c) Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 15

2015

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m³. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

– 100 zł za 1 m² dna

– 75 zł za 1 m² ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 4. Niech x=|AC|.

a) Wykaż, że pole P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem

$P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 15

2015

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2020, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2019, zadanie 15

2015

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V=2 Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 15

2015

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S₁ i promieniu x oraz drugi o środku S₂ i promieniu 2x, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

· rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;

· obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18;

· punkty: S₁, S₂, S₃ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona $P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , gdzie p – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta SS₁S₂ jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2018, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.

a) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

b) Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem

$L(a)=\frac{4a^2-8a+8}{a}$

c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2018, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji V.

c) Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 15

2015

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:2 oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2016, zadanie 16

2015

Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 17

2015

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2015, zadanie 16

2015

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2015, zadanie 16

2015

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Zadania maturalne: zadania optymalizacyjne

Zadanie (0-4) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 7

, gdzie x∈[0, 50].

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 27

Dany jest okrąg o promieniu R. Rozważamy wszystkie trójkąty spełniające warunki:

• są wpisane w ten okrąg

• mają obwody równe 3R

• mają jeden z boków dwukrotnie dłuższy od drugiego.

Znajdź trójkąt o możliwie największym polu przy zadanych warunkach. Oblicz jego pole. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 28

Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach 10 cm×16 cm, odcinając z każdego rogu kwadrat o boku x cm (zobacz rysunek).

Oblicz wartość x, dla której objętość otrzymanego pudełka będzie największa. Oblicz tę największą objętość pudełka. Zapisz obliczenia

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC| = |BC|), na których opisano okrąg o promieniu R = 1. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta.

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.

c) Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 15

– 100 zł za 1 m2 dna

– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 4. Niech x=|AC|.

a) Wykaż, że pole P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 15

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2020, zadanie 15

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2019, zadanie 15

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V=2 Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 15

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S1 i promieniu x oraz drugi o środku S2 i promieniu 2x, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

· rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;

· obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18;

· punkty: S1, S2, S3 nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona , gdzie p – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta SS1S2 jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2018, zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.

a) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

b) Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem

c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2018, zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji V.

c) Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 15

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2016, zadanie 16

Parabola o równaniu przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 17

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony maj 2015, zadanie 16

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Zadanie (0-7) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2015, zadanie 16

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Poziom klasy 7 i 8

Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)

Poziom szkoły średniej (poziom rozszerzony)

Maj 2024

Czerwiec 2024

Sierpień 2024

Informator 2025

Maj 2023

Czerwiec 2023

Sierpień 2023

Wrzesień 2022

Grudzień 2022

Maj 2022

Czerwiec 2022

$K(x)=\frac{22x^2-621,5x+23430}{480+x}$ , gdzie x∈[0, 50].

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem $P(b)=\frac{(18-2b)\cdot\sqrt{18b-81}}{2}$

– 100 zł za 1 m² dna

– 75 zł za 1 m² ściany bocznej.

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S₁ i promieniu x oraz drugi o środku S₂ i promieniu 2x, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

· punkty: S₁, S₂, S₃ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona $P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , gdzie p – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta SS₁S₂ jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).