Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - zadania dowodowe - poziom rozszerzony
Zadania maturalne: zadania dowodowe
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2025, zadanie 2
2023
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że , prawdziwa jest nierówność (a+2b)3>8a2b+16ab2
Zadanie (0-2) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 3
2023
Niech a, b będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość 2a2+a=3b2+b.
Wykaż, że jeśli 5 jest dzielnikiem liczby a-b, to 25 również jest dzielnikiem liczby a-b.
Zadanie (0-2) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 4
2023
Rozpatrzmy liczby naturalne większe od 1000, w których zapisie występuje tylko cyfra 1.
Wykaż, że jeśli liczba a zapisana za pomocą n jedynek jest liczbą pierwszą, to liczba n, również jest liczbą pierwszą.
Zadanie (0-3) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 3
2023
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x oraz dla każdej liczby rzeczywistej y, spełniających warunek x+y≥1, prawdziwa jest nierówność
x3+2xy+y3≥x2+xy(x+y)+y2
Zadanie (0-3) - arkusz pokazowy poziom rozszerzony marzec 2022, zadanie 5
2023
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2023, zadanie 4
2015
Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x+y=4 i nierówność x3−x2y≤xy2−y3.
Wykaż, że x=2 oraz y=2.
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 6
2015
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y, spełniona jest nierówność
x4+y4>xy(x2+y2)
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 6
2015
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x>y, spełniona jest nierówność
7x3+4x2y≥y3+2xy2-x3
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 8
2015
Liczby dodatnie a i b spełniają równość a2+2a=4b2+4b. Wykaż, że a=2b.
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 9
2015
Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n5-3n4-n+19 jest podzielne przez 16.
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 7
2015
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność
5x2+y2-4xy+6x+9≥0
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 7
2015
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
x2y2+2x2+2y2-8xy+4>0.
Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2015, zadanie 8
2015
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
x4-x2-2x+3>0.
Zadanie (0-4) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 5
2023
Suma liczb całkowitych x i y jest podzielna przez 3.
Wykaż, że suma sześcianów liczb x i y jest podzielna przez 9.
Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 8
2015
Wykaż, że dla a, b, c, d > 0 prawdziwa jest nierówność
Zadanie 1 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 1
<2015
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k6-2k4+k2 jest podzielna przez 36.
Zadanie 2 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 2
, prawdziwa jest nierówność (a+2b)3>8a2b+16ab2
