Matura maj 2023 p. podstawowy matematyka - z. 26

2023, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy, Poziom podstawowy - maj

Matura maj 2023 p. podstawowy matematyka - z. 26

By Paweł 8 maja, 2023 2 września, 2024

Zadanie 26 (0-4) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 26

2023

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2022/2023 - Matura maj (08.05.2023) poziom podstawowy

Analiza:

Zauważ, że z trójkąta prostokątnego możemy wyliczyć wysokość oraz połowę krawędzi podstawy:

Policzmy wysokość za pomocą trygonometrii:

$sin\alpha=\frac{H}{|EG|}$

$sin30^o=\frac{H}{6}$

$\frac{1}{2}=\frac{H}{6}/\cdot 6$

$\frac{1}{2}\cdot 6=H$

$H=3$

Potem policzmy połowę krawędzi podstawy:

$cos\alpha=\frac{x}{|EG|}$

$cos30^o=\frac{x}{6}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{6}/\cdot 6$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6=x$

$x=3\sqrt{3}$

Policzmy długość krawędzi podstawy, która jest dwa razy dłuższa:

$a=2x=2\cdot3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

Pozostaje nam policzyć objętość:

$V=\frac{1}{3}P_pH$

gdzie podstawą jest kwadrat, stąd:

$V=\frac{1}{3}a^2H$

$V=\frac{1}{3}(6\sqrt{3})^23$

$V=36\cdot3=108 j^3$

Aby policzyć pole powierzchni potrzebujemy pola ścian bocznych.

Pole pojedynczej ściany wynosi:

$P_s=\frac{ah}{2}$

$P_s=\frac{6\sqrt{3}\cdot6}{2}$

$P_s=18\sqrt{3}$

Na pole powierzchni całkowitej składają się cztery powyższe ściany i jedna podstawa, która jest kwadratem:

$P_c=4\cdot P_s+a^2$

$P_c=4\cdot18\sqrt{3}+(6\sqrt{3})^2$

$P_c=72\sqrt{3}+36\cdot3$

$P_c=72\sqrt{3}+108 j^2$

Odpowiedź:

P_c=108+72√3 j²; V=108 j³.

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi