Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - planimetria - poziom rozszerzony

Zadania maturalne: planimetria

Zadanie (0-1) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 4

2015

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach 5 i 8 jest równe 12. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

A. 5

B. 8

C. $\sqrt{41}$

D. $\sqrt{143}$

Zadanie (0-4) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 6

2023

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki BC, AC i AB tego trójkąta w punktach – odpowiednio – K, L oraz M. Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLPK oraz BKMP można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Zadanie (0-6) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 11

2023

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB|>|CD| oraz ramię BC ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu R=5. Miary kątów BAC i ABC tego trapezu spełniają warunek

$\frac{sin(\angle BAC)}{sin(\angle ABC)}=\frac{5}{8}$

Oblicz pole i obwód trapezu ABCD.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 20

2023

W pewien okrąg wpisano czworokąt ABCD taki, że |AB|=10, |CD|=6 oraz |BC|=|BD|. Styczna do tego okręgu w punkcie C tworzy z bokiem CD kąt ɑ o mierze 30° (zobacz rysunek).

Oblicz pole czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 21

2023

W trapezie ABCD przekątna BD jest dwusieczną kąta CBA i przecina przekątną AC w punkcie K, takim, że |CK|:|KA|=1∶3. Pole tego trapezu jest równe 100(√6−√2), $sin\angle BAD=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ , |AD| = 10 oraz kąt BAD jest ostry.

Oblicz długości pozostałych boków trapezu ABCD. Zapisz obliczenia

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 22

2023

Punkt D leży wewnątrz trójkąta ABC. Prosta przechodząca przez punkt D i równoległa do boku AC przecina bok AB w punkcie K, a bok BC w punkcie L. Prosta przechodząca przez punkt D i równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie M, a bok AC w punkcie N (zobacz rysunek). Stosunek obwodu trójkąta KMD do obwodu trójkąta KBL jest równy 5∶7, a stosunek obwodu trójkąta KMD do obwodu trójkąta AMN jest równy 5∶8. Pole czworokąta DLCN jest równe 15.

Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-3) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 26

2023

Trójkąt ABC, w którym |AC|=|BC|, jest wpisany w okrąg o promieniu R. Środek tego okręgu leży wewnątrz trójkąta ABC. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB.

Wykaż, że pole trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem $P(x)=(R+x)\sqrt{R^2-x^2}$ . Określ dziedzinę tej funkcji.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 9

2015

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD. Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B′, a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie A′. Wykaż, że |AA′|=|BB′|.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 9

2015

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CPD jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie APB.

Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP| \cdot |CP|.$

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 7

2015

Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D, E i F tak, że |AD|=|DE|=|EF|=2|FB|. Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG∥EC oraz FH∥EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta FBH jest równe S, to pole trójkąta ADG jest równe 3S.

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 14

2015

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD. Bok AD tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku AB, a przekątna BD ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:

$cos(\angle ADB)=\frac{7}{8}, \, |\angle BCD|=90^o \, oraz \, |AB|>\sqrt{15}$

Oblicz długość boku BC tego czworokąta.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 8

2015

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że $|BD| = |AE| = \frac{1}{3}|AB|$ . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 13

2015

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 7

2015

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|=6, a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC|=|LC|=2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}$ .

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 8

2015

Dwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E, przy czym punkty B i E leżą po przeciwnych stronach prostej AC (zobacz rysunek).

Wykaż, że .|∠ABC|−|∠ADC|+2⋅|∠AEC|=360°.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 10

2015

Miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego jest o 2° mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n+2)-kąta foremnego. Oblicz n.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 14

2015

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\frac{1}{2}$ . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Strona https://oblicz.com.pl/arkusz-maturalny-planimetria/ to źródło informacji dla uczniów, którzy przygotowują się do matury z planimetrii. Zawiera ona bogaty zbiór arkuszy maturalnych z planimetrii, które pomagają w ćwiczeniu i utrwaleniu wiedzy z tego przedmiotu.

Na stronie można znaleźć arkusze maturalne z różnych lat, co umożliwia porównanie wymagań i sprawdzenie swoich umiejętności w kontekście różnych poziomów trudności.

Zadania maturalne: planimetria

Zadanie (0-1) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 4

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach 5 i 8 jest równe 12. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Zadanie (0-4) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 6

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki BC, AC i AB tego trójkąta w punktach – odpowiednio – K, L oraz M. Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLPK oraz BKMP można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Zadanie (0-6) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 11

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB|>|CD| oraz ramię BC ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu R=5. Miary kątów BAC i ABC tego trapezu spełniają warunek

Oblicz pole i obwód trapezu ABCD.

Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 20

W pewien okrąg wpisano czworokąt ABCD taki, że |AB|=10, |CD|=6 oraz |BC|=|BD|. Styczna do tego okręgu w punkcie C tworzy z bokiem CD kąt ɑ o mierze 30° (zobacz rysunek).

Oblicz pole czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-4) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 21

W trapezie ABCD przekątna BD jest dwusieczną kąta CBA i przecina przekątną AC w punkcie K, takim, że |CK|:|KA|=1∶3. Pole tego trapezu jest równe 100(√6−√2), , |AD| = 10 oraz kąt BAD jest ostry.

Oblicz długości pozostałych boków trapezu ABCD. Zapisz obliczenia

Zadanie (0-6) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 22

Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-3) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 26

Trójkąt ABC, w którym |AC|=|BC|, jest wpisany w okrąg o promieniu R. Środek tego okręgu leży wewnątrz trójkąta ABC. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB.

Wykaż, że pole trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem . Określ dziedzinę tej funkcji.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 9

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD. Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B′, a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie A′. Wykaż, że |AA′|=|BB′|.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 9

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CPD jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie APB.

Wykaż, że spełniony jest warunek

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 7

Zadanie (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 14

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD. Bok AD tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku AB, a przekątna BD ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:

Oblicz długość boku BC tego czworokąta.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 8

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 13

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę.

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 7

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|=6, a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC|=|LC|=2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że .

Zadanie (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 8

Dwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E, przy czym punkty B i E leżą po przeciwnych stronach prostej AC (zobacz rysunek).

Wykaż, że .|∠ABC|−|∠ADC|+2⋅|∠AEC|=360°.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 10

Miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego jest o 2° mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n+2)-kąta foremnego. Oblicz n.

Zadanie (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 14

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

W trapezie ABCD przekątna BD jest dwusieczną kąta CBA i przecina przekątną AC w punkcie K, takim, że |CK|:|KA|=1∶3. Pole tego trapezu jest równe 100(√6−√2), $sin\angle BAD=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ , |AD| = 10 oraz kąt BAD jest ostry.

Wykaż, że pole trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem $P(x)=(R+x)\sqrt{R^2-x^2}$ . Określ dziedzinę tej funkcji.

Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP| \cdot |CP|.$

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że $|BD| = |AE| = \frac{1}{3}|AB|$ . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}$ .

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\frac{1}{2}$ . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.