Zadanie 14 (0-2)

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n²+15n jest podzielna przez 10.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2022/2023 - Test diagnostyczny grudzień 2022 (14.12.2022) poziom podstawowy

Analiza:

Zauważ, że liczba jest podzielna przez 10, gdy jest podzielna przez 5 i jest jednocześnie parzysta. Postarajmy się przekształcić sumę algebraiczną na iloczyn wyrażeń, które będą spełniały te warunki. W pierwszej kolejności wyciągnijmy 5n przed nawias:

5n²+15n=5n(n+3)

Przyjrzyjmy się iloczynowi. Jednym z jego elementów jest 5, zatem cała liczba jest podzielna przez 5. Po drugie liczby n i n+3 są oddalone od siebie o 3 - czyli liczbę nieparzysta, stąd wynika że jeżeli n jest nieparzyste to n+3 jest parzyste, lub n jest parzyste to n+3 jest nieparzyste. Zatem zawsze jedna z tych liczb jest parzysta. Po uwzględnieniu obu warunków możemy stwierdzić, że cały iloczyn jest podzielny prze 10.