Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 33

Zadanie 33 (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021

2015

Dany jest czworokąt ABCD, w którym |BC|=|CD|=|AD|=13. (zobacz rysunek). Przekątna BD tego czworokąta ma długość 10 i jest prostopadła do boku AD. Oblicz pole czworokąta ABCD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Analiza:

Zaznaczmy na rysunku odcinek BD. Zauważ, że dzieli on czworokąt na dwa trójkąty. Pole czworokąta jest równe sumie pół trójkątów:

P_ABCD=P_ABD+P_BCD

W trójkącie ADB para podstawa i wysokość to boki AD i DB, ponieważ są wzajemnie prostopadłe. Dodatkowo znamy ich długości, więc policzenie pola trójkąta to formalność:

$P_{ADB}=\frac{1}{2}|AD||BD|=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 10=65$

W trójkącie BCD zaznaczmy wysokość opadającą z wierzchołka C.

Zauważmy, że trójkąt BCD jest równoramienny o ramionach BD i CD. Wynika stąd, że wysokość h dzieli nam podstawę BD na pół. Odcinki |BE| i |ED| mają długość po 5 cm. W trójkącie prostokątnym BCE skorzystajmy z Twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć wysokość h:

|BC|²=|BE|²+|CE|²

13²=h²+5²

169=h²+25

h²=169-25

h²=144

h=12

Obliczmy pole trójkąta BCD:

$P_{BCD}=\frac{1}{2}|CE||BD|=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 10=60$