Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 12

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 12

Zadanie 12 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x+1)(x-3) jest malejąca w przedziale

A. ⟨1, +∞)

B. (−∞, 1⟩

C. (−∞, −8⟩

D. ⟨−8, +∞)

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy



Analiza:

Monotoniczność funkcji kwadratowej

Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej określone wyznacza położenie x wierzchołka oraz znak przy współczynniku a.

Możliwe są następujące warianty:

Dla a>0 ramiona paraboli skierowane są do góry, stąd funkcja jest malejąca dla x∈(-∾, p), oraz rosnąca dla x∈(p, ∾).

Dla a<0 ramiona paraboli skierowane są w dół, stąd funkcja jest rosnąca dla x∈(-∾, p), oraz malejąca dla x∈(p, ∾).


Współrzędne wierzchołka paraboli z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej

Zauważ, że ze względu na symetrię funkcji kwadratowej względem prostej x=p (gdzie p to współrzędna x-owa wierzchołka), można wyznaczyć współrzędną p znając współrzędne miejsc zerowych x1 i x2 (jeśli istnieją). Wierzchołek paraboli znajduje się po środku miejsc zerowych. Możemy wyznaczyć p bezpośrednio z tego faktu za pomocą średniej arytmetycznej:

p=\frac{x_1+x_2}{2}


Policzmy współrzędną x wierzchołka. Wiedząc, że miejsca zerowe odczytane z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej mają wartości x1=-1 i x2=3. Skorzystajmy z średniej arytmetycznej:

p=\frac{-1+3}{2}

p=\frac{2}{2}

p=1

Wiedząc, że ramiona są skierowane w dół (ponieważ a<0) to funkcja jest malejąca dla x-ów od współrzędnej p=1 wierzchołka do +∞

Odpowiedź:

A. ⟨1, +∞)

B. (−∞, 1⟩

C. (−∞, −8⟩

D. ⟨−8, +∞)



Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

27 ÷ = 9