7. Planimetria, Arkusz maturalny - planimetria, Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - planimetria

Autor Paweł 20 grudnia, 2018 6 lutego, 2026

Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - planimetria - poziom podstawowy

Zadania maturalne: planimetria

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2025, zadanie 21

2023

Kwadrat K₂ jest podobny do kwadratu K₁ w skali 5 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 78.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu K₁ jest równa

A. $sqrt{3}$

B. 3

C. $sqrt{13}$

D. 13

Zobacz odpowiedź

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 17

2023

W trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta CAB jest równy $\frac{3}{5}$ , a przeciwprostokątna AB jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest równa

A. 18

B. 20

C. 24

D. 25

Zobacz odpowiedź

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 18

2023

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |AC|=2 oraz $cos|\measuredangle BAC|=\frac{3}{5}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku BC tego trójkąta jest równa

A. √17

B. √23

C. √35

D. √41

Zobacz odpowiedź

Zadanie 20 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 20

2023

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=8 oraz |CD|=5. Wysokość AD tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego ABC jest równa

A. 15°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

Zobacz odpowiedź

Zadanie 20 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 20

2023

W rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

A. 24

B. 72

C. 36

D. 36√2

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 18

2015

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC|=24, |BC|=10, |AB|=26. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek)

Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa

A. 2

B. 4

C. $rac{5}{2}$

D. $rac{13}{3}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 19

2015

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długość

A. 4 i 6

B. 4 i 3

C. 10 i 10

D. 5 i 5

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 20

2015

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma długość 12 (zobacz rysunek)

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

A. 6

B. $2\sqrt{3}$

C. $4\sqrt{3}$

D. $6\sqrt{3}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 18

2015

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz $tg \alpha =\frac{2}{5}$ (zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta jest równe

A. 12

B. $\frac{37}{3}$

C. $\frac{62}{5}$

D. $\frac{64}{5}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 19

2015

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe $\frac{4\sqrt{3}}{9}$ . Obwód tego trójkąta jest równy

A. 4

B. 2

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 20

2015

W trójkącie ABC bok BC ma długość 13, a wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB na odcinki o długościach |AD|=3 i |BD|=12 (zobacz rysunek obok). Długość boku AC jest równa

A. $\sqrt{34}$

B. $\frac{13}{4}$

C. $2\sqrt{14}$

D. $3\sqrt{45}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 22

2015

W równoległoboku ABCD, przedstawionym na rysunku, kąt α ma miarę 70°.

Wtedy kąt β ma miarę

A. 80°

B. 70°

C. 60°

D. 50°

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 24

2015

Pole figury F₁ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury F₂ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości (zobacz rysunek).

Długość promienia jest równa

A. $sqrt{3}$

B. 2

C. $sqrt{5}$

D. 3

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 16

2015

W romb o boku $2\sqrt{3}$ i kącie 60° wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

A. 3

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{3}{2}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 17

2015

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą DE równoległą do podstawy AB (zobacz rysunek).

Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta CDE jest równy

A. 9:4

B. 4:1

C. 4:9

D. 3:2

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 23

2015

W trapezie równoramiennym ABCD podstawy AB i CD mają długości równe odpowiednio a i b (przy czym a>b). Miara kąta ostrego trapezu jest równa 30°. Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

A. $\frac{a-b}{2}\cdot \sqrt{3}$

B. $\frac{a-b}{6}\cdot \sqrt{3}$

C. $\frac{a+b}{2}$

D. $\frac{a+b}{4}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie 20 (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 20

2023

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=12 oraz |CD|=6. Wysokość AD tego trapezu ma długość 24. Na odcinku AD leży punkt E taki, że |∡BEA|=|∡CED| (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka BE. Zapisz obliczenia.

Zobacz odpowiedź

Zadanie 22 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 22

2023

Bok kwadratu ABCD ma długość równą 12. Punkt S jest środkiem boku BC tego kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS.

Oblicz długość odcinka BP. Zapisz obliczenia.

Zobacz odpowiedź

Zadanie 22 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 22

2023

Trójkąty prostokątne T₁ i T₂ są podobne. Przyprostokątne trójkąta T₁ mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T₂ ma długość 26.

Oblicz pole trójkąta T₂. Zapisz obliczenia.

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 33

2015

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku przecina boki AB i BC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\frac{3}{2}$ . Oblicz długość boku trójkąta AKL.

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 31

2015

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość a i b. Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że promień r tego okręgu jest równy $\frac{ab}{a+b}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 33

2015

Dany jest czworokąt ABCD, w którym |BC|=|CD|=|AD|=13. (zobacz rysunek). Przekątna BD tego czworokąta ma długość 10 i jest prostopadła do boku AD. Oblicz pole czworokąta ABCD.

Zobacz odpowiedź

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

3. Potęgi. Uczeń:, Repetytorium, Repetytorium

Arkusz egzaminacyjny - potęgi

Autor Paweł 20 grudnia, 2018 25 marca, 2025

Zestaw zadań egzaminacyjnych posegregowanych tematycznie z lat ubiegłych. Temat przewodni zestawu - potęgi.

Zadania egzaminacyjne: potęgi

Zadanie 7 (0-1) - egzamin ósmoklasisty maj 2024, zadanie 7

8.kl

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zadanie 7 (0-1) - egzamin ósmoklasisty maj 2023, zadanie 7

8.kl

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Iloraz $\frac{10^8}{5^8}$ jest równy A/B

A. 5⁸

B. 2⁸

Iloczyn 2⁶·25³ jest równy C/D

C. 50⁹

D. 10⁶

Zobacz odpowiedź

Zadanie 4 (0-1) - egzamin ósmoklasisty maj 2021, zadanie 4

8.kl

Z reguł działań na potęgach wynika, że: (200 000)³ = (2·100 000)³ = (2·10⁵)³ = 2³ ·10¹⁵ Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Z tych samych reguł wynika, że liczba (60 000 000)³ jest równa

A. 6³·10²¹

B. 6·10²¹

C. 6³·10¹⁰

D. 6·10¹⁰

Zobacz odpowiedź

Zadanie 7 (0-1) - egzamin ósmoklasisty czerwiec 2020, zadanie 7

8.kl

Która z podanych niżej liczb nie jest równa 3¹⁵? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 3·3¹⁴

B. 3⁹·3⁶

C. 3¹⁷:9

D. (3⁵)³

E. 9¹⁵:3

Zobacz odpowiedź

Zadanie 7 (0-1) - egzamin ósmoklasisty kwiecień 2020, zadanie 7

8.kl

Marta przygotowała dwa żetony takie, że suma liczb zapisanych na obu stronach każdego żetonu jest równa zero. Widok jednej ze stron tych żetonów przedstawiono poniżej.

Jakie liczby znajdują się na niewidocznych stronach tych żetonów? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. -25 i -8

B. -25 i 8

C. 25 i -8

D. 25 i 8

Zobacz odpowiedź

Zadanie 3 (0-1) - egzamin ósmoklasisty kwiecień 2019, zadanie 3

8.kl

W tabeli zapisano trzy wyrażenia.

I.	5²·10⁸·5⁴
II.	(5¹⁰:5²)·10⁸
III.	2⁸·5⁸·5⁸

Które z tych wyrażeń są równe 50⁸? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. Tylko I i II.

B. Tylko II i III

C. Tylko II.

D. Tylko III

Zobacz odpowiedź

Zadanie 5 (0-1) - egzamin ósmoklasisty próbny 2018, zadanie 5

8.kl

Narysowany kwadrat należy wypełnić tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych kwadratu były takie same.

Narysowany kwadrat należy wypełnić tak, aby iloczyny liczb

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy 5¹⁵.	P	F
W zacieniowane pole kwadratu należy wpisać liczbę 5⁹.	P	F

Zobacz odpowiedź

Zadanie 6 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2018, zadanie 6

Gim.

Dane są dwie liczby: a=8⁵, b=4⁵

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Iloczyn a·b jest równy 32¹⁰.	P	F
Iloraz a/b jest równy 2⁵.	P	F

Zobacz odpowiedź

Zadanie 6 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2017, zadanie 6

Gim.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba 7¹⁶ jest 7 razy większa od liczby 7¹⁵.	P	F
(–1)¹² + (–1)¹³ + (–1)¹⁴ + (–1)¹⁵ + (–1)¹⁶ = 0	P	F

Zobacz odpowiedź

Zadanie 4 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2016, zadanie 4

Gim.

I. 25⁴¹

II. 125⁴¹

III. 2⁸⁶²

IV. 5⁴³¹

Która z tych liczb jest największa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. I

B. II

C. III

D. IV

Zobacz odpowiedź

Zadanie 5 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2015, zadanie 5

Gim.

Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby 7.

7¹=7

7²=49

7³=343

7⁴=2401

7⁵=16 807

7⁶=117 649

7⁷=823 543

7⁸=5 764 801

7⁹=40 353 607

..............

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cyfrą jedności liczby 7¹⁹⁰ jest

A. 1

B. 3

C. 7

D. 9

Zobacz odpowiedź

Zadanie 6 (0-1) - egzamin gimnazjalny kwiecień 2013, zadanie 6

Gim.

Dane są liczby: a = (–2)¹², b = (–2)¹¹, c = 2¹⁰.

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe

Liczby te uporządkowane od najmniejszej do największej to:

A. c, b, a

B. a, b, c

C. c, a, b

D. b, c, a

Zobacz odpowiedź

Potęgi

Tematyczny arkusz egzaminacyjny - Potęgi

Zestaw zadań egzaminacyjnych posegregowanych tematycznie z lat ubiegłych. Temat przewodni zestawu - potęgi. Arkusz można wykorzystać w celu przećwiczenia tej tematyki pod kątem egzaminu gimnazjalnego bądź ósmoklasisty.

Przejdź do listy zadań

Przejdź do arkusza

Karta pracy - działania na potęgach

Arkusz pracy mający na celu utrwalić umiejętność korzystania własności potęgowania. Karta ta została stworzona jako uzupełnienie egzaminacyjnego arkusza tematycznego dla ósmoklasistów i gimnazjalistów.

Przejdź do listy zadań

Przejdź do arkusza

11. Bryły. Uczeń:, 11.2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, Egzamin Ósmoklasisty, Egzamin próbny ósmoklasisty grudzień 2018

Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 14. (0–1)

Autor Paweł 19 grudnia, 2018 10 stycznia, 2019

Zadanie 14 (0-1)

Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 2 cm × 2 cm × 9 cm, przyklejono do metalowej płytki w sposób pokazany na rysunku I.

Źródło: CKE - egzamin próbny ósmoklasisty 2018

W ten sposób przygotowano formę, którą wypełniono masą gipsową, i tak otrzymano gipsowy
odlew w kształcie prostopadłościanu, pokazany na rysunku II.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Objętość drewna, z którego zbudowano formę, jest równa

A

B

A. cm³

B. cm³

Objętość gipsowego odlewu jest równa

C

D

C. cm³

D. cm³

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny - grudzień 2018

Czytaj dalej"Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 14. (0–1)"

9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń:, 9.5) analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut kostką, […]) i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach ..., Egzamin Ósmoklasisty, Egzamin próbny ósmoklasisty grudzień 2018

Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 10. (0–1)

Autor Paweł 19 grudnia, 2018 15 stycznia, 2019

Zadanie 10 (0-1)

Do gry planszowej używane są dwa bączki o kształtach przedstawionych na rysunkach. Każdy bączek po zatrzymaniu na jednym boku wielokąta wskazuje liczbę umieszczoną na jego tarczy. Na rysunku I bączek ma kształt pięciokąta foremnego z zaznaczonymi liczbami od 1 do 5. Na rysunku II bączek ma kształt sześciokąta foremnego z zaznaczonymi liczbami od 1 do 6.

Źródło: CKE - próbny egzamin ósmoklasisty grudzień 2018

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej niż 3 na bączku z rysunku I jest większe niż .	P	F
Uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku I jest tak samo prawdopodobne, jak uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku II	P	F

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny - grudzień 2018

Czytaj dalej"Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 10. (0–1)"

4. Pierwiastki. Uczeń:, Egzamin Ósmoklasisty, Egzamin próbny ósmoklasisty grudzień 2018

Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 8. (0–1)

Autor Paweł 19 grudnia, 2018 3 stycznia, 2019

Zadanie 8 (0-1)

Dana jest liczba

Uzupełnij poniżej zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba o 2 większa od liczby jest równa A / B

A.

B.

Liczba 2 razy większa od liczby a jest równa C / D

C.

D.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny - grudzień 2018

Czytaj dalej"Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 8. (0–1)"

1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń, 7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek […]., Egzamin Ósmoklasisty, Egzamin próbny ósmoklasisty grudzień 2018

Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 6. (0–1)

Autor Paweł 19 grudnia, 2018 7 stycznia, 2019

Zadanie 6 (0-1)

Prędkość rozchodzenia się impulsu elektrycznego u człowieka wynosi około 2 metrów na sekundę. U roślin impuls elektryczny może rozchodzić się z prędkością około 60 centymetrów na minutę.

Ile razy prędkość rozchodzenia się impulsu elektrycznego u człowieka jest większa od prędkości rozchodzenia się impulsu elektrycznego u roślin? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. W przybliżeniu 2 razy.

B. W przybliżeniu 20 razy.

C. W przybliżeniu 200 razy.

D. W przybliżeniu 2000 razy.

Czytaj dalej"Egzamin Ósmoklasisty grudzień 2018 - Zadanie 6. (0–1)"

10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa, trójkąty podobne - zadanie

Autor Paweł 14 grudnia, 2018 18 grudnia, 2018

Zadanie

Dane są dwa trójkąty prostokątne ABC i PRS (patrz rysunek). W trójkącie ABC przyprostokątne mają długość 8 i 6 cm. W trójkącie PRS przeciwprostokątna ma długość 15 cm. Jaką długość mają przyprostokątne PR i RS w trójkącie PRS, gdy trójkąty ABC i PRS są podobne? Zapisz obliczenia.

Czytaj dalej"Twierdzenie Pitagorasa, trójkąty podobne - zadanie"

10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa., Repetytorium, Repetytorium

Arkusz egzaminacyjny - Twierdzenie Pitagorasa

Autor Paweł 5 grudnia, 2018 23 kwietnia, 2020

Zestaw zadań egzaminacyjnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - 10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa;( III etap edukacyjny - gimnazjum i VIII.8) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa [...];)( II etap edukacyjny - szkoła podstawowa)

Czytaj dalej"Arkusz egzaminacyjny - Twierdzenie Pitagorasa"

3. Równania i nierówności, 3.3) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Arkusz maturalny - nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Autor Paweł 3 grudnia, 2018 23 lipca, 2025

Czytaj dalej"Arkusz maturalny - nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą"

8. Wykres funkcji. Uczeń:, Repetytorium, Repetytorium

Arkusz egzaminacyjny - wykresy

Autor Paweł 26 listopada, 2018 27 września, 2022

Zestaw zadań egzaminacyjnych posegregowanych tematycznie z lat ubiegłych. Temat przewodni zestawu - WYKRESY. Arkusz można wykorzystać w celu przećwiczenia tej tematyki pod kątem egzaminu gimnazjalnego (8. Wykres funkcji) bądź ósmoklasisty (XIII. ODCZYTYWANIE DANYCH I ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ w szczególności XIII.1. interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów, w tym także wykresów w układzie współrzędnych;).

Czytaj dalej"Arkusz egzaminacyjny - wykresy"

4. Pierwiastki. Uczeń:, Repetytorium, Repetytorium

Arkusz egzaminacyjny - pierwiastki

Autor Paweł 18 listopada, 2018 12 października, 2023

Zestaw zadań egzaminacyjnych posegregowanych tematycznie z lat ubiegłych. Temat przewodni zestawu - PIERWIASTKI. Arkusz można wykorzystać w celu przećwiczenia tej tematyki pod kątem egzaminu gimnazjalnego bądź ósmoklasisty.

Czytaj dalej"Arkusz egzaminacyjny - pierwiastki"

4. Pierwiastki. Uczeń:, 4.2) wyłącza czynnik przed znak pierwiastka […].

Popularne pierwiastki - wyciąganie liczby przed znak pierwiastka

Autor Paweł 4 listopada, 2018 22 stycznia, 2019

Tabela pierwiastków kwadratowych

Szukaj pierwiastka - wpisz liczbę podpierwiastkową. Tabela zostanie przeszukana pod kątem podanej liczby.

8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.7) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.

Symetria osiowa

Autor Paweł 29 października, 2018 2 listopada, 2018

Wśród kart pracy opublikowany został kolejny element: karta pracy pozwalająca przećwiczyć umiejętność wyznaczania punktu symetrycznego do punktu względem prostej.

Co możesz zrobić za pomocą karty?

ustalić kierunek prostej, która ma być osią symetrii za pomocą zielonego punktu na okręgu:

Czytaj dalej"Symetria osiowa"

10.6) oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego;

Pole koła

Autor Paweł 16 września, 2018 20 lutego, 2019

Jedno z najpopularniejszych haseł wyszukiwania w Google dla początkowego ciągu liter "wzó" to "wzór na pole koła"*.

* wyszukanie z dnia 16.09.2018. W trybie Chrome incognito, aby nie zaburzać wyników przez indywidualne preferencje.

Wzór cv, czy wzór wypowiedzenia nas teraz nie interesuje. To zacznijmy od wzoru na pole koła:

Czytaj dalej"Pole koła"

8.2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych

Równanie prostej równoległej przechodzącej przez punkt

Autor Paweł 9 września, 2018 21 stycznia, 2021

Mając równanie prostej y=ax+b możemy wyznaczyć równanie prostej równoległej, która będzie przechodziła przez punkt P(x_p,y_p), którego współrzędne także znamy. Możemy to zrobić następująco:

Współczynnik kierunkowy a prostej musi być identyczny w obu równaniach prostych, czyli oba równania mają tą część wspólną:

y=ax

Wyraz wolny b' możemy wyznaczyć z równania prostej, którą znamy oraz ze współrzędnych punktu przez który ma przechodzić prosta równoległa:

ax+b'

Czytaj dalej"Równanie prostej równoległej przechodzącej przez punkt"

2018, 3. Równania i nierówności, 3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, II.3.5, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy - sierpień 2018

Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 26

Autor Paweł 30 sierpnia, 2018 26 stycznia, 2023

Zadanie 26 (0-2)

Rozwiąż nierówność x²+6x-16<0

Czytaj dalej"Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 26"

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, 2018, 3) oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, Egzaminy, II.10.3, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy - sierpień 2018

Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 25

Autor Paweł 30 sierpnia, 2018 19 lipca, 2019

Zadanie 25 (0-1)

W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna jest równe

A.

B.

C.

D.

Czytaj dalej"Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 25"

2018, Egzaminy, G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa, G9.4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych, II.G9.4, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy - sierpień 2018

Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 24

Autor Paweł 30 sierpnia, 2018 6 sierpnia, 2019

Zadanie 24 (0-1)

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena	6	5	4	3	2
Liczba ocen	2	3	5	5	1

Mediana przedstawionego zestawu danych wynosi:

A. 3

B. 3,5

C. 4

D. 4,5

Czytaj dalej"Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 24"

2018, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.6) oblicza odległość dwóch punktów, Egzaminy, II.8.6, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy - sierpień 2018

Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 21

Autor Paweł 30 sierpnia, 2018 29 stycznia, 2020

Zadanie 21 (0-1)

Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa:

A. $2\sqrt{5}$

B. $4\sqrt{5}$

C. $5\sqrt{2}$

D. $10\sqrt{2}$

Czytaj dalej"Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 21"

2018, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych, Egzaminy, II.8.2, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy - sierpień 2018

Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 20

Autor Paweł 30 sierpnia, 2018 14 grudnia, 2020

Zadanie 20 (0-1)

Proste o równaniach y=(3m-4)x+2 oraz y=(12-m)x+3m są równoległe, gdy

A. m=4

B. m=3

C. m=-4

D. m=-3

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2017/2018 - Matura sierpień poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 20"

Iloczyn 3∙9⁵ jest równy wartości wyrażenia 3¹¹.	P	F
Wyrażenie $\frac{2^{8}\cdot2^{7}}{2^{10}}$ można zapisać w postaci 2⁵.	P	F

Zadania maturalne: planimetria

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2025, zadanie 21

Kwadrat K2 jest podobny do kwadratu K1 w skali 5 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 78.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu K1 jest równa

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 17

W trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta CAB jest równy , a przeciwprostokątna AB jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest równa

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 18

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |AC|=2 oraz .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku BC tego trójkąta jest równa

Zadanie 20 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 20

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=8 oraz |CD|=5. Wysokość AD tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego ABC jest równa

Zadanie 20 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 20

W rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 18

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC|=24, |BC|=10, |AB|=26. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek)

Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 19

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długość

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 20

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma długość 12 (zobacz rysunek)

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 18

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz (zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta jest równe

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 19

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe . Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 20

W trójkącie ABC bok BC ma długość 13, a wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB na odcinki o długościach |AD|=3 i |BD|=12 (zobacz rysunek obok). Długość boku AC jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 22

W równoległoboku ABCD, przedstawionym na rysunku, kąt α ma miarę 70°.

Wtedy kąt β ma miarę

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 24

Pole figury F1 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury F2 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości (zobacz rysunek).

Długość promienia jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 16

W romb o boku i kącie 60° wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 17

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą DE równoległą do podstawy AB (zobacz rysunek).

Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta CDE jest równy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 23

W trapezie równoramiennym ABCD podstawy AB i CD mają długości równe odpowiednio a i b (przy czym a>b). Miara kąta ostrego trapezu jest równa 30°. Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

Zadanie 20 (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 20

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=12 oraz |CD|=6. Wysokość AD tego trapezu ma długość 24. Na odcinku AD leży punkt E taki, że |∡BEA|=|∡CED| (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka BE. Zapisz obliczenia.

Zadanie 22 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 22

Bok kwadratu ABCD ma długość równą 12. Punkt S jest środkiem boku BC tego kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS.

Oblicz długość odcinka BP. Zapisz obliczenia.

Zadanie 22 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 22

Trójkąty prostokątne T1 i T2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T2 ma długość 26.

Oblicz pole trójkąta T2. Zapisz obliczenia.

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 33

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku przecina boki AB i BC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy . Oblicz długość boku trójkąta AKL.

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 31

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość a i b. Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że promień r tego okręgu jest równy

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 33

Dany jest czworokąt ABCD, w którym |BC|=|CD|=|AD|=13. (zobacz rysunek). Przekątna BD tego czworokąta ma długość 10 i jest prostopadła do boku AD. Oblicz pole czworokąta ABCD.

Poziom klasy 7 i 8

Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)

Poziom szkoły średniej (poziom rozszerzony)

Maj 2025

Czerwiec 2025

Sierpień 2025

Maj 2024

Czerwiec 2024

Sierpień 2024

Grudzień 2024

Informator 2025

Maj 2023

Czerwiec 2023

Sierpień 2023

Wrzesień 2022

Kwadrat K₂ jest podobny do kwadratu K₁ w skali 5 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 78.

Długość boku kwadratu K₁ jest równa

W trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta CAB jest równy $\frac{3}{5}$ , a przeciwprostokątna AB jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC.

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |AC|=2 oraz $cos|\measuredangle BAC|=\frac{3}{5}$ .

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz $tg \alpha =\frac{2}{5}$ (zobacz rysunek).

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe $\frac{4\sqrt{3}}{9}$ . Obwód tego trójkąta jest równy

Pole figury F₁ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury F₂ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości (zobacz rysunek).

W romb o boku $2\sqrt{3}$ i kącie 60° wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Trójkąty prostokątne T₁ i T₂ są podobne. Przyprostokątne trójkąta T₁ mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T₂ ma długość 26.

Oblicz pole trójkąta T₂. Zapisz obliczenia.

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku przecina boki AB i BC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\frac{3}{2}$ . Oblicz długość boku trójkąta AKL.

Wykaż, że promień r tego okręgu jest równy $\frac{ab}{a+b}$

Iloraz $\frac{10^8}{5^8}$ jest równy A/B

Iloczyn 2⁶·25³ jest równy C/D

Z reguł działań na potęgach wynika, że: (200 000)³ = (2·100 000)³ = (2·10⁵)³ = 2³ ·10¹⁵ Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Z tych samych reguł wynika, że liczba (60 000 000)³ jest równa

Która z podanych niżej liczb nie jest równa 3¹⁵? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dane są dwie liczby: a=8⁵, b=4⁵

Dane są liczby: a = (–2)¹², b = (–2)¹¹, c = 2¹⁰.