Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Źródło: CKE matura 2019 poziom podstawowy
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura maj poziom podstawowy
Analiza:
Oznaczmy na rysunku znane kąt
W trójkącie CBS kąty BCE i BSE są takie same (trójkąt CBS jest równoramienny z ramionami o długości r ). Mają miarę . Wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°. to kąt CBS ma miarę:
Kąt ABC jest kątem półpełnym. Stąd znając wartość kąta CBS możemy policzyć wartość kąta ABS:
Ponieważ trójkąta ABS także jest równoramienny z ramionami o długości r to kąty ABS i BAS też mają taką samą miarę.
Kolejny element układanki - kąt ASB. Jego miarę ponownie wyznaczymy z sumy kątów w trójkącie:
No i jesteśmy na finiszu. Ponownie mamy kąt półpełny. Tym razem DSE. Znamy jego dwie składowe BSE i ASB. Ostatnią składową jest kąt którego szukamy:
Co należało udowodnić.
Dla dociekliwych:
Na tym to zadanie można zakończyć. Jako mały bonus pod przyciskiem poniżej dostępna jest karta z Geogebry z tym zadaniem. Możesz tam sam zobaczyć jak zachowuje się ta struktura geometryczna podczas zmiany jej parametrów.
WAŻNE!!! Dla uzasadnienia animacji, ale nie istotne w zadaniu. Relacja jest spełniona tylko wtedy gdy BC jest poza okręgiem lub punkt C znajduje się na okręgu. W pozostałych relacja o której mowa w zadaniu nie jest spełniona.
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2016
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2015
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie chwilowo niedostępne
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
2014
Egzamin maturalny w starej formule. Zadania z matury podstawowej z matematyki 2014 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.