Zadanie 5 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2026, zadanie 5

2023

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n≥0 liczba 7ⁿ+7ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺² jest podzielna przez 19.

Zadanie 7 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2026, zadanie 7

2023

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.

Zadanie 5 (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2026, zadanie 5

2023

Wykaż, że liczba 2501⁴−2499⁴ jest podzielna przez 10000.

Zadanie 5 (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2025, zadanie 5

2023

Wykaż, że liczba 8⁵⁰−2¹⁴⁵ jest podzielna przez 31.

Zadanie 5 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2025, zadanie 5

2023

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a²−b² jest podzielna przez 5.

Zadanie 5 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2025, zadanie 5

2023

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n²+2n+7 jest podzielna przez 4.

Zadanie 3 (0-2) - matura poziom podstawowy grudzień 2024, zadanie 3

2023

Wykaż, że liczba 2¹⁰⁰+4⁴⁹+16²⁴ jest podzielna przez 21.

Zadanie 3 (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 3

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+5)²+3 jest podzielna przez 4.

Zadanie 5 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 5

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 5n³−5n jest podzielna przez 30.

Zadanie 3 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 3

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba n²+(n+1)²+(n+2)² jest podzielna przez 3 daje resztę 2.

Zadanie 3 (0-2) - informator CKE 2024/2025, zadanie 3

2023

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n liczba (3n+5)²+11n²-18 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Zadanie 5 (0-2) - informator CKE 2024/2025, zadanie 5

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba n(n²+3n+2) jest podzielna przez 6.

Zadanie 5 (0-2) - informator CKE 2024/2025, zadanie 5

2023

Udowodnij, że liczba 3⁴⁵+9²²+27¹⁴ jest podzielna przez 37.

Zadanie 2 (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2023, zadanie 2

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+5)²+3 jest podzielna przez 4.

Zadanie 3 (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2023, zadanie 3

2023

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia liczby 49k²+7k−2 przez 7 jest równa 5.

Zadanie 3 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 3

2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+1)²-1 jest podzielna przez 8.

Zadanie 2 (0-2) - test diagnostyczny wrzesień 2022

2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie 9−(x²−2xy+y²) jest równe

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2022, zadanie 31

2015

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej b różnej od 0 spełniona jest nierówność

2a²-4ab+5b²>0

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2022, zadanie 30

2015

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y prawdziwa jest nierówność

$(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}$

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2022, zadanie 31

2015

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b≠a spełniona jest nierówność

$\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2$

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2021, zadanie 31

2015

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność

b(5b-4a)+a²≥0

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 30

2015

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że $\frac{a+b}{2}>c$ i $\frac{b+c}{2}>a$, prawdziwa jest nierówność

$\frac{a+c}{2}<b$

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 30

2015

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że a<b, spełniona jest nierówność

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2020, zadanie 28

2015

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

a(a+b)+b²>3ab

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2020, zadanie 28

2015

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste a i b spełniają warunek a < 4 i b < 4, to

ab+16>4a+4b.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2020, zadanie 28

2015

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

$a(a-2b)+2b²>0$

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2019, zadanie 28

2015

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność

$x+\frac{1-x}{x}\geq 1{x}$.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2019, zadanie 29

2015

Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2019, zadanie 28

2015

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

3a²-2ab+3b²≥0.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2018, zadanie 29

2015

Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 4$.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2018, zadanie 28

2015

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2018, zadanie 28

2015

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b} \geq \frac{2}{a+b}$.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2017, zadanie 28

2015

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

$4x+\frac{1}{x}\geq 4$.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2017, zadanie 29

2015

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność

(1,5)¹⁰⁰<6²⁵

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2017, zadanie 27

2015

Wykaż, że liczba 4²⁰¹⁷+4²⁰¹⁸+4²⁰¹⁹+4²⁰²⁰ jest podzielna przez 17.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy sierpień 2016, zadanie 28

2015

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc=1, to

a^-1+b^-1+c^-1=ab+ac+bc

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2016, zadanie 28

2015

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność

x⁴+y⁴+x²+y²≥2(x³+y³)

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2016, zadanie 30

2015

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n²+2n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2015, zadanie 29

2015

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność

3x²+5y²-4xy≥0.

Zadanie  (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2015, zadanie 27

2015

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x²-8xy+5y²≥0.

Zadanie 25 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2011, zadanie 25

<2015

Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a²+b²=7, to a⁴+b⁴=31.

Zadanie 30 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2010, zadanie 30

<2015

Wykaż, że jeśli a>0, to $\frac{a^2+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2}$.

Zadanie 4 (0-3) - informator CKE 2024/2025, zadanie 4

2023

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że a<b oraz obie są niepodzielne przez 3.

Udowodnij, że liczba a²+11ab+b² jest podzielna przez 9.