Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - trygonometria - poziom podstawowy

Zadania maturalne: trygonometria

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2026, zadanie 17

2023

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie α, że $\sin \alpha = \frac{1}{4}$ .

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

A. 1

B. 2

C. 4

D. 2√15

Zobacz odpowiedź

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2026, zadanie 21

2023

Kąt o mierze α jest rozwarty oraz $\sin \alpha = \frac{3}{5}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze α jest równy

A. $\left(-\frac{4}{5}\right)$

B. $\left(-\frac{3}{4}\right)$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{4}{5}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2025, zadanie 17

2023

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha = 2 \sin \alpha$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta α jest równy

A. $rac{1}{2}$

B. $rac{sqrt{2}}{2}$

C. $rac{sqrt{3}}{2}$

D. $rac{sqrt{3}}{3}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie 16 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 16

2023

Kąt α jest ostry oraz $cos\alpha=\frac{24}{25}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α jest równy

A. $rac{7}{18}$

B. $rac{7}{24}$

C. $rac{7}{25}$

D. $rac{18}{25}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 19

2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 1+cos²27° jest równa

A. 2-sin²27°

B. sin²27°

C. 1+sin²27°

D. 2

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 19

2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba sin³20°+cos²20°⋅sin20° jest równa

A. cos20°

B. sin20°

C. tg20°

D. sin20°⋅cos20°

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2023, zadanie 19

2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie cos α − cos α ⋅ sin² α jest równe

A. cos³ α

B. sin² α

C. 1-sin² α

D. cos α

Zobacz odpowiedź

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 18

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O=(0, 0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez punkt P = (−3, 1) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α jest równy

A. $rac{1}{sqrt{10}}$

B. $(-rac{3}{sqrt{10}})$

C. $(-rac{3}{1})$

D. $(-rac{1}{3})$

Zobacz odpowiedź

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 19

2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin⁴α + sin²α ⋅ cos²α jest równe

A. sin²α

B. sin⁶α⋅cos²α

C. sin⁴α+1

D. sin²α⋅(sinα+cosα)⋅(sinα-cosα)

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2022, zadanie 17

2015

Nie istnieje kąt ostry α taki, że

A. $sin lpha=rac{1}{3}$ i $cos lpha =rac{2}{3}$

B. $sin lpha=rac{5}{13}$ i $cos lpha =rac{12}{13}$

C. $sin lpha=rac{3}{5}$ i $cos lpha =rac{4}{5}$

D. $sin lpha=rac{9}{15}$ i $cos lpha =rac{12}{15}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2022, zadanie 16

2015

Kąt α jest ostry i $sin\alpha=\frac{2}{3}$ . Wtedy cos²(90°−α) jest równy

A. $rac{1}{9}$

B. $rac{2}{9}$

C. $rac{4}{9}$

D. $rac{5}{9}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2022, zadanie 16

2015

Liczba cos12° ⋅ sin78° + sin12° ⋅ cos78° jest równa

A. $rac{1}{2}$

B. $rac{sqrt{2}}{2}$

C. $rac{sqrt{3}}{2}$

D. 1

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 15

2015

Kąt o mierze α jest ostry i tgα=√5. Wtedy

A. $cos^2lpha=rac{1}{6}$

B. $cos^2lpha=rac{1}{5}$

C. $cos^2lpha=rac{sqrt{5}}{5}$

D. $cos^2lpha=rac{5}{6}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 16

2015

Dla każdego kąta ostrego α iloczyn $\frac{cos \alpha}{1-sin^2\alpha} \cdot \frac{1- cos^2 \alpha}{sin \alpha}$

A. sin α

B. tg α

C. cos α

D. sin² α

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 19

2015

Kąt α jest ostry $sin \alpha = \frac{4}{5}$ . Wtedy

A. $cos lpha= rac{1}{5}$

B. $cos lpha=- rac{1}{5}$

C. $cos lpha=- rac{3}{5}$

D. $cos lpha= rac{3}{5}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 20

2015

Dane są punkty M=(6, 0), N=(6, 8) oraz O=(0, 0). Tangens kąta ostrego MON jest równy

A. $rac{4}{3}$

B. $rac{6}{10}$

C. $rac{3}{4}$

D. $rac{8}{10}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2019, zadanie 13

2015

Cosinus kąta ostrego α jest równy $\frac{12}{13}$ . Wtedy:

A. $sin lpha= rac{13}{12}$

B. $sin lpha= rac{1}{13}$

C. $sin lpha= rac{5}{13}$

D. $sin lpha= rac{25}{169}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2019, zadanie 12

2015

Kąt α∈(0°,180°) oraz wiadomo, że $sin\alpha\cdot cos \alpha=-\frac{3}{8}$ . Wartość wyrażenia (cosα−sinα)²+2 jest równa:

A. $rac{15}{4}$

B. $rac{9}{4}$

C. $rac{27}{8}$

D. $rac{21}{8}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2019, zadanie 13

2015

Wartość wyrażenia 2sin²18°+sin²72°+cos²18° jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2018, zadanie 16

2015

Kąt α jest ostry i $cos \alpha=\frac{3}{5}$ . Wtedy:

A. $sin lpha cdot tg lpha =rac{16}{15}$

B. $sin lpha cdot tg lpha =rac{15}{16}$

C. $sin lpha cdot tg lpha =rac{8}{15}$

D. $sin lpha cdot tg lpha =rac{6}{20}$

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2017, zadanie 14

2015

Jeśli m=sin 50°, to:

A. m=sin 40°

B. m=cos 40°

C. m=cos 50°

D. m=tg 50°

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2015, zadanie 15

2015

Jeżeli 0^o<α<90^o oraz tgα=2sinα, to

A. $coslpha=rac{1}{2}$

B. $coslpha=rac{sqrt{2}}{2}$

C. $coslpha=rac{sqrt{3}}{2}$

D. 1

Zobacz odpowiedź

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 18

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że tg α=−3 oraz 90°<α<180° (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: …………. oraz ………… .

A. sin α < 0

C. sin α · cos α > 0

E. sin α = -⅓ cos α

B. sin α · cos α < 0

D. cos α > 0

F. sin α =-3 cos α

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 32

2015

Kąt α jest ostry i $sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}$ . Oblicz wartość wyrażenia $2sinαcosα$ .

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2020, zadanie 31

2015

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos \alpha}=4$ . Oblicz tangens kąta α.

Zobacz odpowiedź

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2018, zadanie 30

2015

Kąt α jest ostry i $sin \alpha+cos \alpha=\sqrt{2}$ . Oblicz wartość wyrażenia $tg\alpha+\frac{1}{tg \alpha}$ .

Zobacz odpowiedź

Klasa 7 i 8

Matura poziom podstawowy

Matura poziom rozszerzony

Jedynka trygonometryczna, fundamentalne równanie matematyczne, jest kluczowym elementem trygonometrii, które łączy kwadraty funkcji sinus i cosinus dowolnego kąta. Wyrażenie sin²(x) + cos²(x) = 1 nie tylko upraszcza wiele obliczeń w geometrii i analizie matematycznej, ale także znajduje szerokie zastosowanie w fizyce, inżynierii oraz informatyce.

Zadania maturalne: trygonometria

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2026, zadanie 17

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie α, że sin⁡α=14\sin \alpha = \frac{1}{4}.

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Zadanie 21 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2026, zadanie 21

Kąt o mierze α jest rozwarty oraz sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze α jest równy

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2025, zadanie 17

Kąt α jest ostry i spełnia warunek 3tg⁡α=2sin⁡α\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha = 2 \sin \alpha.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta α jest równy

Zadanie 16 (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2024, zadanie 16

Kąt α jest ostry oraz .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α jest równy

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2024, zadanie 19

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 1+cos227° jest równa

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 19

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba sin320°+cos220°⋅sin20° jest równa

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2023, zadanie 19

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie cos α − cos α ⋅ sin2 α jest równe

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 18

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O=(0, 0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez punkt P = (−3, 1) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α jest równy

Zadanie 19 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2023, zadanie 19

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin4α + sin2α ⋅ cos2α jest równe

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2022, zadanie 17

Nie istnieje kąt ostry α taki, że

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2022, zadanie 16

Kąt α jest ostry i . Wtedy cos2(90°−α) jest równy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2022, zadanie 16

Liczba cos12° ⋅ sin78° + sin12° ⋅ cos78° jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021, zadanie 15

Kąt o mierze α jest ostry i tgα=√5. Wtedy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021, zadanie 16

Dla każdego kąta ostrego α iloczyn

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 19

Kąt α jest ostry . Wtedy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 20

Dane są punkty M=(6, 0), N=(6, 8) oraz O=(0, 0). Tangens kąta ostrego MON jest równy

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2019, zadanie 13

Cosinus kąta ostrego α jest równy . Wtedy:

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2019, zadanie 12

Kąt α∈(0°,180°) oraz wiadomo, że . Wartość wyrażenia (cosα−sinα)2+2 jest równa:

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2019, zadanie 13

Wartość wyrażenia 2sin218°+sin272°+cos218° jest równa

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy sierpień 2018, zadanie 16

Kąt α jest ostry i cosα=35cos \alpha=\frac{3}{5}. Wtedy:

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2017, zadanie 14

Jeśli m=sin 50°, to:

Zadanie (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2015, zadanie 15

Jeżeli 0o<α<90o oraz tgα=2sinα, to

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 18

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że tg α=−3 oraz 90°<α<180° (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: …………. oraz ………… .

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021, zadanie 32

Kąt α jest ostry i sinα+cosα=75sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}. Oblicz wartość wyrażenia 2sinαcosα2sinαcosα.

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2020, zadanie 31

Kąt α jest ostry i spełnia warunek 2sinα+3cosαcosα=4\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos \alpha}=4. Oblicz tangens kąta α.

Zadanie (0-2) - matura poziom podstawowy czerwiec 2018, zadanie 30

Kąt α jest ostry i sinα+cosα=2sin \alpha+cos \alpha=\sqrt{2}. Oblicz wartość wyrażenia tgα+1tgαtg\alpha+\frac{1}{tg \alpha}.

Poziom klasy 7 i 8

Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)

Poziom szkoły średniej (poziom rozszerzony)

Sierpień 2026

Maj 2023

Czerwiec 2023

Sierpień 2023

Wrzesień 2022

Grudzień 2022

Maj 2022

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie α, że $\sin \alpha = \frac{1}{4}$ .

Kąt o mierze α jest rozwarty oraz $\sin \alpha = \frac{3}{5}$

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha = 2 \sin \alpha$ .

Kąt α jest ostry oraz $cos\alpha=\frac{24}{25}$ .

Liczba 1+cos²27° jest równa

Liczba sin³20°+cos²20°⋅sin20° jest równa

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie cos α − cos α ⋅ sin² α jest równe

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin⁴α + sin²α ⋅ cos²α jest równe

Kąt α jest ostry i $sin\alpha=\frac{2}{3}$ . Wtedy cos²(90°−α) jest równy

Dla każdego kąta ostrego α iloczyn $\frac{cos \alpha}{1-sin^2\alpha} \cdot \frac{1- cos^2 \alpha}{sin \alpha}$

Kąt α jest ostry $sin \alpha = \frac{4}{5}$ . Wtedy

Cosinus kąta ostrego α jest równy $\frac{12}{13}$ . Wtedy:

Kąt α∈(0°,180°) oraz wiadomo, że $sin\alpha\cdot cos \alpha=-\frac{3}{8}$ . Wartość wyrażenia (cosα−sinα)²+2 jest równa:

Wartość wyrażenia 2sin²18°+sin²72°+cos²18° jest równa

Kąt α jest ostry i $cos \alpha=\frac{3}{5}$ . Wtedy:

Jeżeli 0^o<α<90^o oraz tgα=2sinα, to

Kąt α jest ostry i $sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}$ . Oblicz wartość wyrażenia $2sinαcosα$ .

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos \alpha}=4$ . Oblicz tangens kąta α.

Kąt α jest ostry i $sin \alpha+cos \alpha=\sqrt{2}$ . Oblicz wartość wyrażenia $tg\alpha+\frac{1}{tg \alpha}$ .