Kategoria: Poziom Podstawowy – maj 2026

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 4.

Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki:

• punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD

• punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD

• $|CF| = \frac{1}{2} \cdot |EB| = x$, gdzie x∈(0, 2) (zobacz rysunek).

Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF.

Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x∈(0, 2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest sześcioelementowy zbiór K={2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ze zbioru K losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia K polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od 16. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to 9 lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to 13 lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Odcinek AD jest wysokością walca, a odcinek AB jest średnicą podstawy walca. Odcinek BD ma długość 4√3. Miara kąta ABD jest równa 30° (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) odcinek o końcach A=(1, 1) oraz B=(3, -1) jest średnicą okręgu O.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg O jest określony równaniem

A. (x-1)²+(y-1)²=8

B. x²+(y-2)²=2

C. (x-2)²+y²=2

D. (x-2)²+y²=8

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A=(-3, 1) oraz B=(1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu ABCD jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD, w którym D=(6, 19). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2}x + 9$, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu $y=4x−5$. Punkt K=(10, 14) jest środkiem odcinka AB. Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S.

Oblicz współrzędne punktu S. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Kąt o mierze α jest rozwarty oraz $\sin \alpha = \frac{3}{5}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze α jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku AC. Odcinek BE jest środkową trójkąta ABC, a odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki DB oraz DE mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że |∡CAB|=2⋅|∡ABE|.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie A przecięto dwiema prostymi równoległymi k oraz l.

Prosta k przecina ramiona tego kąta w punktach B oraz C.

Prosta l przecina ramiona tego kąta w punktach D oraz E.

Punkty B oraz D leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty C oraz E leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto |AB|=6, |BC|=4 oraz |BD|=2 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek DE ma długość

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S. Odcinek BD jest średnicą tego okręgu oraz |∡ABD|=18°. Punkt D leży na krótszym łuku CA (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego BCA jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie α, że $\sin \alpha = \frac{1}{4}$.

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Pięciowyrazowy ciąg (a₁, a₂, 2, a₄, a₅) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn a₁⋅a₂⋅2⋅a₄⋅a₅ jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Czterowyrazowy ciąg (7, a₂ , a₃ , a₄) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54.

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg (a_n) jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = a_n - 6 \end{cases}$ dla każdej liczby naturalnej n≥1.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(-3,7).