Zadanie 14 (0-1)

Ciągi (a_n), (b_n) oraz (c_n) są określone dla każdej liczby naturalnej n≥1 następująco

a_n= 6n²-n³

b_n= 2n+13

c_n= 2ⁿ

Wskaż zdanie prawdziwe:

A. Ciąg (a_n) jest arytmetyczny.

B. Ciąg (b_n) jest arytmetyczny.

C. Ciąg (c_n) jest arytmetyczny.

D. Wśród ciągów (a_n), (b_n), (c_n) nie ma ciągu arytmetycznego

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Analiza:

Dla każdego z ciągów należy stworzyć wyraz następny po wyrazie n-tym. Następnie sprawdźmy czy różnica: wyraz następny-wyraz poprzedni będzie przyjmować postać liczbową niezależną od n.

Dla ciągu a_n=6n²-n³, a_n+1 ma postać:

a_n+1=6(n+1)²-(n+1)³=6(n²+2n+1)-(n³+3n²+3n+1)=

=6n²+12n+6-n³-3n²-3n-1=

=-n³+3n²+9n+5

Policzmy różnicę:

r=a_n+1-a_n

r=-n³+3n²+9n+5-(6n²-n³)=

=-n³+3n²+9n+5-6n²+n³=

=-3n²+9n+5

Jak widać różnica między kolejnymi wyrazami jest uzależniona od n. Ciąg a_n nie jest arytmetyczny.

Dla ciągu b_n=2n+13, b_n+1 ma postać:

b_n+1=2(n+1)+13=2n+2+13=2n+15

Policzmy różnicę:

r=b_n+1-b_n

r=2n+15-(2n+13)=

=2n+15-2n-13=2

Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, niezależnie jaką parę następujących po sobie wyrazów sprawdzimy, zatem ciąg jest arytmetyczny.

Dla ciągu c_n=2ⁿ, c_n+1 ma postać:

cⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹

Policzmy różnicę:

r=c_n+1-c_n

r=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ(2-1)=2ⁿ

Jak widać różnica między kolejnymi wyrazami jest uzależniona od n. Ciąg c_n nie jest arytmetyczny.

Wyznaczmy pierwsze trzy wyrazy i zobaczmy, czy różnica między a₂-a₁ jest równa a₃-a₂. Tak sprawdzamy, czy różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała. Jeśli tak, to możemy powiedzieć, że dla pierwszych trzech wyrazów ciąg jest arytmetyczny. W zadaniu maturalnym zamkniętym takie sprawdzenie powinno być wystarczające, choć może nie tym razem.

a₁=6·1²-1³=6-1=5

a₂=6·2²-2³=6·4-8=24-8=16

a₃=6·3²-3³=6·9-27=54-27=27

Stąd:

a₂-a₁=a₃-a₂

16-5=27-16

11=11

Ciąg a_n dla pierwszych trzech wyrazów jest arytmetyczny.

Podobnie sprawdźmy dla ciągu b_n:

b₁=2+13=15

b₂=2·2+13=4+13=17

b₃=2·3+13=6+13=19

Stąd:

b₂-b₁=b₃-b₂

17-15=19-17

2=2

Ciąg b_n dla pierwszych trzech wyrazów też jest arytmetyczny!

W takiej sytuacji w ciągu a_n i b_n trzeba zobaczyć, jak wygląda różnica między wyrazem czwartym a trzecim.

Dla ciągu a_n: a₄=6·4²-4³=6·16-64=96-64=32, stąd a₄-a₃=32-27=5≠11, różnica nie jest stała. Ciąg a_n nie jest arytmetyczny.

Dla ciągu b_n: b₄=2·4+13=8+13=21, stąd b₄-b₃=21-19=2, różnica jest stała. Ciąg b_n jest arytmetyczny dla pierwszych 4 wyrazów. Jednak jeszcze nie możemy wykluczyć odpowiedzi d. Na chwilę obecną wiemy, że ciąg jest arytmetyczny dla pierwszych wyrazów. Na podstawie obecnych obliczeń nie wiemy co się dzieje później. Dlatego też warto sprawdzić za pomocą sposobu z rozwiązania formalnego, lub różnicę dwóch dalekich wyrazów, np. a₁₀₁-a₁₀₀=2·101+13-(2·100+13)=202+13-213=2. Ponownie nie jest to dowód na to, że ciąg jest arytmetyczny dla wszystkich n, ale sposób ten pozwala stwierdzić, że prawdopodobnie tak jest.

Pozostaje nam do sprawdzenia ostatni ciąg. Można zauważyć, że n znajduje się w wykładniku potęgi, więc nie może to być ciąg, którego wyrazy powstają przez dodanie r do wyrazu poprzedniego. Nie będzie to ciąg arytmetyczny. Jednak, jeżeli tego nie zauważysz to można jak poprzednio policzyć.

c₁=2¹=2

c₂=2²=4

c₃=2³=8

c₂-c₁=c₃-c₂

4-2≠8-4

2≠4

Ciąg c_n nie jest arytmetyczny.

Zauważ, że tylko ciąg b_n jest ma postać liniową od n. Stąd można wyciągnąć wniosek, że jest to ciąg arytmetyczny.

Odpowiedź:

A. Ciąg (a_n) jest arytmetyczny.

B. Ciąg (b_n) jest arytmetyczny.

C. Ciąg (c_n) jest arytmetyczny.