Matura czerwiec 2022 p. rozszerzony matematyka - z. 6

Matura czerwiec 2022 p. rozszerzony matematyka - z. 6

Zadanie 6 (0-3)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ≠ y, spełniona jest nierówność

x4+y4>xy(x2+y2)

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura czerwiec (2.06.2022) poziom podstawowy



Analiza:

Wymnóżmy:

x4+y4>xy(x2+y2)

x4+y4>x3y+xy3

Przenieśmy wszystko na jedną stronę:

x4-x3y-xy3+y4>0

Wyciągnijmy czynniki przed nawias, tak aby w nawiasie zostało to samo wyrażenie:

x3(x-y)-y3(x-y)>0

(x3-y3)(x-y)>0

Skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia (x3-y3)=...:

(x-y)(x2+xy+y2)(x-y)>0

(x-y)2(x2+xy+y2)>0

Teraz wystarczy wykazać, że każdy składnik iloczynu jest większy od zera, ponieważ (x-y)2 jest zawsze większy od zera wtedy, gdy x ≠ y. Zatem spełniony musi być jeszcze warunek:

x2+xy+y2>0

Poszukajmy tu wzoru skróconego mnożenia, po to by otrzymać sumę kwadratów:

x^2+xy+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2>0

(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2>0

Każdy z składników powyższej sumy jest większy od zera. Stąd wynika, że (x-y)2(x2+xy+y2) jest większe od zera.

Odpowiedź:

Zatem dla x ≠ y spełniona jest nierówność x4+y4>xy(x2+y2).



Matura - poziom podstawowy

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2018 - poziom podstawowy

Matura 2022 - poziom podstawowy

2022

 

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2020 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2021 - poziom podstawowy

Maj 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.

5 × = 15