Zadanie 6 (0-3) |
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ≠ y, spełniona jest nierówność
x4+y4>xy(x2+y2)
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura czerwiec (2.06.2022) poziom podstawowy
Analiza:
Wymnóżmy:
x4+y4>xy(x2+y2)
x4+y4>x3y+xy3
Przenieśmy wszystko na jedną stronę:
x4-x3y-xy3+y4>0
Wyciągnijmy czynniki przed nawias, tak aby w nawiasie zostało to samo wyrażenie:
x3(x-y)-y3(x-y)>0
(x3-y3)(x-y)>0
Skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia (x3-y3)=...:
(x-y)(x2+xy+y2)(x-y)>0
(x-y)2(x2+xy+y2)>0
Teraz wystarczy wykazać, że każdy składnik iloczynu jest większy od zera, ponieważ (x-y)2 jest zawsze większy od zera wtedy, gdy x ≠ y. Zatem spełniony musi być jeszcze warunek:
x2+xy+y2>0
Poszukajmy tu wzoru skróconego mnożenia, po to by otrzymać sumę kwadratów:
Dla x ≠ y i dla 2x≠-y kwadrat sumy jest większy od zera. Niezależnie, czy z drugiego kwadratu otrzymamy wartość zero, to suma obu wyrażeń jest większa od zera. Stąd (x-y)2(x2+xy+y2) jest większe od zera. Dla 2x=-y otrzymujemy , a y2 przyjmuje wartość dodatnią, stąd suma też jest dodatnia.
Odpowiedź:
Zatem dla x ≠ y spełniona jest nierówność x4+y4>xy(x2+y2).
Poziom klasy 7 i 8
Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)
Czerwiec 2024
Zadania pojawią się po publikacji przez CKE
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2022
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Maj 2020
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2020
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2018
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2017
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2016
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2015
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie bez analizy i odpowiedzi
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2014
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie bez analizy i odpowiedzi
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2013
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie bez analizy i odpowiedzi
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2012
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie bez analizy i odpowiedzi
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Maj 2011
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2011
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie bez analizy i odpowiedzi
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Czerwiec 2010
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie dowodowe bez analizy
Zadanie bez analizy i odpowiedzi
Zadanie z analizą i odpowiedzią
(x2+1/2y)^2 nie jest zawsze dodatnie, ponieważ x≠y, bo np. x=-1, y=2 i otrzymujemy wartość 0.
(x+1/2y)^2 miało być**
Dzięki za zasygnalizowanie wyjątku. Analiza uzupełniona.