Zadanie 6 (0-3) |
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ≠ y, spełniona jest nierówność
x4+y4>xy(x2+y2)
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura czerwiec (2.06.2022) poziom podstawowy
Analiza:
Wymnóżmy:
x4+y4>xy(x2+y2)
x4+y4>x3y+xy3
Przenieśmy wszystko na jedną stronę:
x4-x3y-xy3+y4>0
Wyciągnijmy czynniki przed nawias, tak aby w nawiasie zostało to samo wyrażenie:
x3(x-y)-y3(x-y)>0
(x3-y3)(x-y)>0
Skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia (x3-y3)=...:
(x-y)(x2+xy+y2)(x-y)>0
(x-y)2(x2+xy+y2)>0
Teraz wystarczy wykazać, że każdy składnik iloczynu jest większy od zera, ponieważ (x-y)2 jest zawsze większy od zera wtedy, gdy x ≠ y. Zatem spełniony musi być jeszcze warunek:
x2+xy+y2>0
Poszukajmy tu wzoru skróconego mnożenia, po to by otrzymać sumę kwadratów:
Każdy z składników powyższej sumy jest większy od zera. Stąd wynika, że (x-y)2(x2+xy+y2) jest większe od zera.
Odpowiedź:
Zatem dla x ≠ y spełniona jest nierówność x4+y4>xy(x2+y2).
Matura - poziom podstawowy
Egzaminy maturalne - archiwum
2017
Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Matura 2018 - poziom podstawowy
Matura 2022 - poziom podstawowy
2022
Zadanie z odpowiedzią bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Matura 2020 - poziom podstawowy
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Matura 2019 - poziom podstawowy
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią
Matura 2021 - poziom podstawowy
Maj 2021
Zadanie z odpowiedzią - bez analizy
Zadanie z analizą i odpowiedzią