Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC| = |BC|), na których opisano okrąg o promieniu R = 1. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta.

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.

c) Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dane są okrąg o₁ o równaniu (x-6)²+(y-4)²=98 oraz okrąg o₂ o promieniu 2√5. Środki okręgów o₁ i o₂ leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=−3x−6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o₂.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

(x-4)[x²+(m-3)x+m²-m-6]=0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x₁, x₂ oraz x₃, spełniające warunek

x₁·x₂·x₂>x₁²+x₂²+x₃²-5m-51

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA₁B₁C₁D₁ jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2α (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta α.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż równanie cos(3x)+√3sin(3x)+1=0 w przedziale <0,π>.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek |q| < 1. Stosunek sumy S_N wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S_P wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum,

tj. . Oblicz q.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD. Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B′, a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie A′. Wykaż, że |AA′| = |BB′|.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż nierówność

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ≠ y, spełniona jest nierówność

x⁴+y⁴>xy(x²+y²)

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach 5 i 8 jest równe 12. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Sumą wektorów oraz jest wektor . Wynika stąd, że

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Granica jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wiadomo, że log₅2=a i log₅3=b. wtedy liczba log₁₈40 jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę