Site icon Oblicz.com.pl

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 14

Paweł
Matura 2021 poziom podstawowy

Zadanie 14 (0-1)

Ciągi (an), (bn) oraz (cn) są określone dla każdej liczby naturalnej n≥1 następująco

Wskaż zdanie prawdziwe:

A. Ciąg (an) jest arytmetyczny.

B. Ciąg (bn) jest arytmetyczny.

C. Ciąg (cn) jest arytmetyczny.

D. Wśród ciągów (an), (bn), (cn) nie ma ciągu arytmetycznego

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy



Analiza:

Dla każdego z ciągów należy stworzyć wyraz następny po wyrazie n-tym. Następnie sprawdźmy czy różnica: wyraz następny-wyraz poprzedni będzie przyjmować postać liczbową niezależną od n.

Dla ciągu an=6n2-n3, an+1 ma postać:

an+1=6(n+1)2-(n+1)3=6(n2+2n+1)-(n3+3n2+3n+1)=

=6n2+12n+6-n3-3n2-3n-1=

=-n3+3n2+9n+5

Policzmy różnicę:

r=an+1-an

r=-n3+3n2+9n+5-(6n2-n3)=

=-n3+3n2+9n+5-6n2+n3=

=-3n2+9n+5

Jak widać różnica między kolejnymi wyrazami jest uzależniona od n. Ciąg an nie jest arytmetyczny.

Dla ciągu bn=2n+13, bn+1 ma postać:

bn+1=2(n+1)+13=2n+2+13=2n+15

Policzmy różnicę:

r=bn+1-bn

r=2n+15-(2n+13)=

=2n+15-2n-13=2

Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, niezależnie jaką parę następujących po sobie wyrazów sprawdzimy, zatem ciąg jest arytmetyczny.

Dla ciągu cn=2n, cn+1 ma postać:

cn+1=2n+1

Policzmy różnicę:

r=cn+1-cn

r=2n+1-2n=2n(2-1)=2n

Jak widać różnica między kolejnymi wyrazami jest uzależniona od n. Ciąg cn nie jest arytmetyczny.

Wyznaczmy pierwsze trzy wyrazy i zobaczmy, czy różnica między a2-a1 jest równa a3-a2. Tak sprawdzamy, czy różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała. Jeśli tak, to możemy powiedzieć, że dla pierwszych trzech wyrazów ciąg jest arytmetyczny. W zadaniu maturalnym zamkniętym takie sprawdzenie powinno być wystarczające, choć może nie tym razem.

a1=6·12-13=6-1=5

a2=6·22-23=6·4-8=24-8=16

a3=6·32-33=6·9-27=54-27=27

Stąd:

a2-a1=a3-a2

16-5=27-16

11=11

Ciąg an dla pierwszych trzech wyrazów jest arytmetyczny.

Podobnie sprawdźmy dla ciągu bn:

b1=2+13=15

b2=2·2+13=4+13=17

b3=2·3+13=6+13=19

Stąd:

b2-b1=b3-b2

17-15=19-17

2=2

Ciąg bn dla pierwszych trzech wyrazów też jest arytmetyczny!

W takiej sytuacji w ciągu an i bn trzeba zobaczyć, jak wygląda różnica między wyrazem czwartym a trzecim.

Dla ciągu an: a4=6·42-43=6·16-64=96-64=32, stąd a4-a3=32-27=5≠11, różnica nie jest stała. Ciąg an nie jest arytmetyczny.

Dla ciągu bn: b4=2·4+13=8+13=21, stąd b4-b3=21-19=2, różnica jest stała. Ciąg bn jest arytmetyczny dla pierwszych 4 wyrazów. Jednak jeszcze nie możemy wykluczyć odpowiedzi d. Na chwilę obecną wiemy, że ciąg jest arytmetyczny dla pierwszych wyrazów. Na podstawie obecnych obliczeń nie wiemy co się dzieje później. Dlatego też warto sprawdzić za pomocą sposobu z rozwiązania formalnego, lub różnicę dwóch dalekich wyrazów, np. a101-a100=2·101+13-(2·100+13)=202+13-213=2. Ponownie nie jest to dowód na to, że ciąg jest arytmetyczny dla wszystkich n, ale sposób ten pozwala stwierdzić, że prawdopodobnie tak jest.

Pozostaje nam do sprawdzenia ostatni ciąg. Można zauważyć, że n znajduje się w wykładniku potęgi, więc nie może to być ciąg, którego wyrazy powstają przez dodanie r do wyrazu poprzedniego. Nie będzie to ciąg arytmetyczny. Jednak, jeżeli tego nie zauważysz to można jak poprzednio policzyć.

c1=21=2

c2=22=4

c3=23=8

c2-c1=c3-c2

4-2≠8-4

2≠4

Ciąg cn nie jest arytmetyczny.


Zauważ, że tylko ciąg bn jest ma postać liniową od n. Stąd można wyciągnąć wniosek, że jest to ciąg arytmetyczny.

Odpowiedź:

A. Ciąg (an) jest arytmetyczny.

B. Ciąg (bn) jest arytmetyczny.

C. Ciąg (cn) jest arytmetyczny.

D. Wśród ciągów (an), (bn), (cn) nie ma ciągu arytmetycznego



Klasa 7 i 8
Matura poziom podstawowy
Matura poziom rozszerzony

Poziom klasy 7 i 8

Potęgi

Pierwiastki

Procenty

Wykresy

Doświadczenia losowe

Twierdzenie Pitagorasa

Bryły

Poziom szkoły średniej (poziom podstawowy)

Potęgi

Pierwiastki

Procenty

Logarytmy

Wyrażenia algebraiczne

Równania iloczynowe

Równania wymierne

Funkcje

Funkcja liniowa i równanie prostej

Funkcja kwadratowa

Wielomiany

Nierówności I stopnia

Nierówności kwadratowe

Ciągi

Trygonometria

Planimetria

Proste, punkty, odcinki (geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej)

Kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu

Mediana i średnia arytmetyczna

Kombinatoryka

Rachunek prawdopodobieństwa

Bryły

Optymalizacja

Poziom szkoły średniej (poziom rozszerzony)

Wartość bezwględna

Logarytmy

Zadania dowodowe

Funkcja kwadratowa

Wielomiany

Ciągi

Funkcje wymierne

Trygonometria

Planimetria

Geometria analityczna

Granice funkcji

Rachunek różniczkowy

Bryły

Kombinatoryka

Prawdopodobieństwo

Zadania optymalizacyjne

Maj 2025
Czerwiec 2025
Sierpień 2025

Maj 2025

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2025

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2025

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj 2024
Czerwiec 2024
Sierpień 2024
Grudzień 2024
Informator 2025

Maj 2024

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2024

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2024

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Grudzień 2024

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Informator 2025

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez odpowiedzi i bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj 2023
Czerwiec 2023
Sierpień 2023
Wrzesień 2022
Grudzień 2022

Maj 2023

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2023

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2023

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Wrzesień 2022

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Grudzień 2022

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2022

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2022

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2022

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Marzec
Maj
Czerwiec
Sierpień

Marzec 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2020

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2020

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2020

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2019

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2019

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2019

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2018

Czerwiec 2018

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2018

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2017

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2017

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2017

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2016

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2016

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2016

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2015

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2015

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2015

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2014

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2014

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2014

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2013

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2013

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2013

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2012

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2012

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2012

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2011

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2011

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2011

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj
Czerwiec
Sierpień

Maj 2010

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2010

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2010

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Exit mobile version