Zadanie  (0-1) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 5

2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-2) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 5

2015

Ciąg (a_n), jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorem , gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-2) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 6

2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) a określony dla n ≥1, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-3) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2016, zadanie 10

2015

Dany jest ciąg (a_n) określony dla każdej liczby całkowitej n≥1 , w którym a₄=4 oraz dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwa jest równość a_n+1=a_n+n-4 . Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 6 (0-3) - matura poziom rozszerzony maj 2014, zadanie 6

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio α, 2α i 4α⁄. Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2025, zadanie 6

2023

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a₁+a₃=20 i a₁²+a₃²=328.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2024, zadanie 7

2015

Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x, y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1.

Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 10

2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek |q|N wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S_P wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum,

tj. . Oblicz q.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 10

2015

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a₁=675 i

Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a₃ =b₄. Oblicz b₁.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - arkusz pokazowy poziom rozszerzony marzec 2022, zadanie 3

2023

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.

Wyznacz wszystkie wartości n, dla których spełniona jest nierówność

gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 5 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 5

O ciągu (x_n) dla n≥1 wiadomo, że:

a) ciąg (a_n)określony wzorem a_n=3^x_n dla n≥1 jest geometryczny o ilorazie q=27.

b) x₁+x₂+…+x₁₀=145.

Oblicz x₁.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 2

2023

Liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej 7. Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby 7.

Wykaż, że iloczyn a·b·c jest podzielny przez 294.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 10

2015

Ciąg (a_n) jest arytmetyczny, a ciąg (b_n) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a₁ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (b_n). Wyrazy ciągu (a_n) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz b₁ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (a_n). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (b_n) jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2025, zadanie 9

2023

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a₆=15 oraz a₁₅=a₃⋅(a₈−6).

Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b₁=a₁₁ oraz b₂=a₆.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n). Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 16

2023

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Ciąg (a₁⋅a₂, a₂⋅a₃, a₃⋅a₁) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.

Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 10

2015

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a₁, a₂ , a₃) spełniona jest równość . Wyrazy a₁, a₂ , a₃ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a₁.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 5 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 5

Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a+b+c=33, natomiast ciąg (a-1, b+5, c+19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 3 (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2011, zadanie 3

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a+3, 2b, c=12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 5 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 5

O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a+c=10 , zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 14

2015

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a-2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 8 (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2014, zadanie 8

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2021, zadanie 4

EW

Długości boków trapezu opisanego na okręgu są liczbami naturalnymi i są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trapezu wynosi 24. Obliczyć pole oraz dłuższą przekątna trapezu. Sporządź rysunek.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2011, zadanie 4

EW

Logarytmy (przy ustalonej podstawie) z liczb:

tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznaczyć x.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  - egzamin wstępny na studia (Politechnika Gdańska) lipiec 1992, zadanie 4

EW

Na paraboli y = 48 − x² znaleźć wszystkie punkty (x, y), takie, że liczby 3, x, y tworzą ciąg geometryczny.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę