Zadanie  (0-2) - Zadania sprawdzające – poziom rozszerzony, zadanie 17

2023

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są dwie proste l₁ oraz l₂. Kąt między tymi prostymi ma miarę 45°. Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l₁ jest równy

Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej l₂. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2021, zadanie 9

2015

Dane są prosta k o równaniu x−2y=0 i prosta l o równaniu 2x+y−1=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+4. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2021, zadanie 10

2015

Prosta przechodząca przez punkty A=(8, −6) i B=(5, 15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 7 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 7

Prosta o równaniu 3x-4y-36=0 przecina okrąg o środku S=(3, 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 7 (0-4) - matura poziom rozszerzony maj 2011, zadanie 7

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x²+y²+2x-2y-3=0 poprowadzonymi przez punkt A=(2, 0).

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2025, zadanie 8

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są okręgi O₁ oraz O₂ o równaniach:

• O₁: (x−1)²+(y+3)²=5

• O₂: (x−2)²+(y−4)²=45.

Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek

Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2020, zadanie 12

2015

Prosta o równaniu x + y −10 = 0 przecina okrąg o równaniu x² + y² −8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2017, zadanie 12

2015

Prosta l, na której leży punkt P=(8,2), tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej l.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2017, zadanie 13

2015

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(-5, 3) i B=(0, 6 ) , którego środek leży na prostej o równaniu x-3y+1=0.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 9 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2013, zadanie 9

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=17 i |BC|=10. Na boku AB leży punkt D taki, że |AD|:|DB|=3:4 oraz DC=|10|. Oblicz pole trójkąta ABC.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 8 (0-5) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2011, zadanie 8

Punkty A=(-5, 5), C=(8. 6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB||CD. Prosta o równaniu y=2x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 8 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 8

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji

Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3, −1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 13 (0-5) - matura poziom rozszerzony maj 2002, zadanie 13

Sprawdź, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P((x, y)) = (x + 1, –y) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu

x² + y² – 2x = 0

w przekształceniu P.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2024, zadanie 11

2015

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta o równaniu 3x+y+2=0 przecina parabolę o równaniu y=x²−2x−8 w punktach A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa .

Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2025, zadanie 11

2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A=(−8,−1) i D=(−13,9) oraz środku symetrii M=(, 1). Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu O jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu O. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - test diagnostyczny poziom rozszerzony grudzień 2022, zadanie 6

2023

Prosta k o równaniu x+y−9=0 przecina parabolę o równaniu w punktach A oraz B. Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C.

Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC.

Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2022, zadanie 14

2015

Dane są okrąg o₁ o równaniu (x-6)²+(y-4)²=98 oraz okrąg o₂ o promieniu 2√5. Środki okręgów o₁ i o₂ leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=−3x−6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o₂.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2022, zadanie 14

2015

Punkt A=(−3, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x−1. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2019, zadanie 11

2015

Dane są okręgi o równaniach x²+y²-12x-8y+43=0 i x²+y²-2ax+4y+a²-77=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  (0-6) - matura poziom rozszerzony czerwiec 2019, zadanie 13

2015

Punkt A=(-2, 6) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x-y-5=0. Wyznacz długość boku tego rombu.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 7 (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2010, zadanie 7

Punkt A=(-2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie 14 (0-6) - matura poziom rozszerzony maj 2002, zadanie 14

Zaznacz na płaszczyźnie zbiór

Napisz równania osi symetrii figury F.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  - egzamin wstępny na studia (Politechnika Wrocławska), 2011, zadanie 11

EW

Dane są proste k: 2x − 3y + 6 = 0 oraz l: 2x + 4y − 7 = 0. Na prostej k wyznacz punkt, którego obraz symetryczny względem prostej l leży na osi Oy. Sporządzić rysunek.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Zadanie  - egzamin wstępny na studia (Politechnika Gdańska) lipiec 1991, zadanie 2

EW

W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A(1, 3) oraz równanie środkowej y = 7 i równanie wysokości x + 4y − 51 = 0. Wiedząc, że środkowa i wysokość wychodzą z różnych wierzchołków trójkąta, podaj równania boków tego trójkąta.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę