Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 32

Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 32

Zadanie 32 (0-4)

Dany jest kwadrat ABCD, w którym A=(5, -\frac{5}{3}). Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y=\frac{4}{3}x. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (09.06.2020) poziom podstawowy



Analiza:

Mamy do czynienia z kwadratem, więc punkt A musi leżeć na prostej prostopadłej do prostej, która zawiera przekątną BD. Wyznaczmy jej równanie. Pamiętając, że współczynniki kierunkowe prostych wzajemnie prostopadłych spełniają warunek:

a1·a2=-1

Współczynnik a w prostej zawierającej przekątną BD jest równy \frac{4}{3}, obliczmy a2:

\frac{4}{3}\cdot a_2=-1 /:\frac{4}{3}

a_2=-1 \cdot \frac{3}{4}

a_2=-\frac{3}{4}

Otrzymaliśmy już współczynnik kierunkowy. Aby wyznaczyć wyraz wolny w równaniu prostej y=-\frac{3}{4}x+b podstawmy współrzędne puntu A, który należy do tej prostej:

-\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}\cdot 5+b

-\frac{5}{3}=-\frac{15}{4}+b

b=-\frac{20}{12}+\frac{45}{12}

b=\frac{25}{12}

Równanie prostej zawierającej przekątną AC ma postać:

y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}.

Środek znajdziemy rozwiązując układ równań złożony z obu prostych AC i BD:

\left\{ \begin{array}{ll} y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}\\y=\frac{4}{3}x\end{array} \right.

Odejmijmy stronami:

y-y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}-\frac{4}{3}x

-\frac{9}{12}x+\frac{25}{12}-\frac{16}{12}x=0

-\frac{25}{12}x=-\frac{25}{12}/:-\frac{25}{12}

x=1

Podstawmy x=1 do jednego z równań prostych, by wyznaczyć współrzędną y punktu przecięcia:

y=\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}\cdot 1=\frac{4}{3}

Otrzymaliśmy punkt przecięcia prostych, a tym samym przekątnych O(1,\frac{4}{3})


Pozostaje nam policzyć pole. Aby to zrobić posłużymy się wzorem na pole kwadratu liczone za pomocą długości przekątnych.

Warto wiedzieć:

Równanie dostępne jest w tablicach maturalnych na stronie 10. Co potwierdza moje stwierdzenie, że

jeżeli nie wiadomo o co chodzi, to jest to w tablicach

autor oblicza

Musimy jednak owo równanie delikatnie zmodyfikować. Podany jest tam wzór na pole rombu:

P=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|

Ale przecież kwadrat to też romb! Nasze równanie możemy uprościć do:

P=\frac{1}{2}d\cdot d=\frac{1}{2}d^2

Aby obliczyć długość przekątnej obliczmy najpierw odległość między punktami A i O:

|AO|=\sqrt{(x_O-x_A)^2+(y_O-y_A)^2}

|AO|=\sqrt{(1-5)^2+(\frac{4}{3}-(-\frac{5}{3}))^2}

|AO|=\sqrt{(-4)^2+(\frac{4}{3}+\frac{5}{3})^2}

|AO|=\sqrt{16+(\frac{9}{3})^2}

|AO|=\sqrt{16+3^2}

|AO|=\sqrt{16+9}

|AO|=\sqrt{25}

|AO|=5

Ponieważ |AO| to połowa przekątnej to:

d=2|AO|=2·5=10

Podstawmy to do wzoru na pole liczone z przekątnych (wyznaczone w sekcji warto wiedzieć):

P=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}\cdot 10^2=\frac{1}{2}\cdot 100=50

Odpowiedź:

Pole kwadratu jest równe 50, a punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne O=(1, \frac{4}{3})



Matura - poziom podstawowy

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2018 - poziom podstawowy

Matura 2020 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2021 - poziom podstawowy

Maj 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.

17 − = 16