Matura 2017 poziom podstawowy - zadanie 8

Zadanie 8 (0-1)

Równanie x(x2-4)(x2+4) z niewiadomą x

A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych




Analiza:

Świetnie. Wielomian zapisany w taki sposób, że od razy widać jego rozwiązania (postać iloczynowa wielomianu). Nie pozostaje nam nic innego jak wyznaczyć jego rozwiązania. Aby to zrobić możemy podzielić go na trzy składowe. Jeżeli jedna z nich się wyzeruje, to cały wielomian będzie równy zero.

\(x(x^2-4)(x^2+4)=0\)

A·B·C=0, jeżeli A=0 \(\vee\) B=0 \(\vee\) C=0.

A=\(x=0\)

\(x=0\color{green}\in\mathbb{R}\)

Z \(x=0\) mamy 1 trywialne rozwiązanie: \(x=0\).

B=\(x^2-4=0\)

\(x^2-4=0\)

\(x^2=4\)

\(x=\sqrt{4}\)

\(x=\mid2\mid\), stąd:

\(x_{1}=-2\color{green}\in\mathbb{R}\)

\(x_{2}=2\color{green}\in\mathbb{R}\)

Z \(x^2-4=0\) mamy 2 rozwiązania: \(x_{1}=-2\) i \(x_{2}=2\).

C=\(x^2+4=0\)

\(x^2+4=0\)

\(x^2=-4\)

\(x=\sqrt{-4}\color{red}\notin\mathbb{R}\)

Z \(x^2+4=0\) nie mamy żadnego rozwiązania rzeczywistego.

Podsumowując wyznaczyliśmy wszystkie 3 rozwiązania: \(x_{1}=-2\), \(x_{2}=2\) oraz \(x_{3}=0\). Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)\) ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.



Odpowiedź:

A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
Matura 2017 poziom podstawowy - zadanie 8
5 (100%) 3 głos[ów]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.