Matura 2017 poziom podstawowy - zadanie 10

Zadanie 10 (0-1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, której miejsca zerowe to: −3 i 1.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, której miejsca zerowe to: −3 i 1
Współczynnik c we wzorze funkcji \(f\) jest równy

A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\)

Źródło CKE - Arkusz maturalny 2017 - poziom podstawowy




Analiza:

Funkcja kwadratowa - więcej na ich temat znajdziesz tutaj.
Wracajmy jednak do zadania. Jakieś pomysły? Jeżeli tak to policz i sprawdź odpowiedź :P.

Jeżeli jednak brak pomysłów to odsyłam do tablic maturalnych. W szczególności na stronę 4 prawie w całości poświęconej funkcji kwadratowej.

Co wiemy?
- znamy współrzędne wierzchołka \((-1,4)\),
- znamy oba rozwiązania funkcji \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=1\).
Zauważ, że korzystając z wierzchołka możesz napisać ogólny i zgrabny wzór funkcji w postaci kanonicznej. Możesz ją spisać z tablic:

\(f(x)=a(x-p)^2+q\),

gdzie \(p\) i \(q\) to współrzędne wierzchołka. Podstawmy do wzoru:

\(f(x)=a(x-(-1))^2+4\),

\(f(x)=a(x+1)^2+4\),

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia - nawet on jest w tablicach (strona 3): \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(f(x)=a(x^2+2x+1)+4\),

\(f(x)=ax^2+2ax+a+4\).

Zauważ, że tylko przy \(a+4\) nie ma \(x\). Ostatni człon równania czyli \(a+4\) to nasze szukane \(c\). To mamy teraz dwie niewiadome. warto poszukać jeszcze jakieś relacji miedzy \(a\) i \(c\). Tu z pomocą znowu przychodzą tablice - Wzory Viéte’a dostępne na stronie z funkcją kwadratową. Mamy dwa rozwiązania \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=1\), czyli delta jest większa od 0. Możemy zatem skorzystać z \(x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}\). Podstawmy pierwszą wyliczoną relację \(c=a+4\) do wzoru Viete'a

\(-3\cdot 1=\frac{a+4}{a}\)

\(-3=\frac{a+4}{a}/\cdot a\)

\(-3a=a+4\)

\(-3a-a=4\)

\(-4a=4\)

\(a=-1\)

Znając \(a\) możemy wyliczyć \(c=a+4=-1+4=3\).



Odpowiedź:

Współczynnik \(c\) w funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, której miejsca zerowe to: −3 i 1 wynosi:

A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\)
Matura 2017 poziom podstawowy - zadanie 10
5 (100%) 2 głos[ów]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.