Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 34

Zadanie 34 (0-4)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Źródło: CKE matura poziom podstawowy 2019

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2017/2018 - Matura maj poziom podstawowy

Analiza:

Zapiszmy wzór na pole powierzchni całkowitej:

P_c=2P_p+P_{pb}=2P_p+3P_{sciana}

gdzie P_p to pole podstawy a P_{pb} to pole powierzchni bocznej.

Z treści zadania wiemy, że pole ściany równe jest polu podstawy.

P_{sciana}=P_p

Równanie na pole powierzchni całkowitej możemy wyrazić jako:

P_c=2P_p+3P_p=5P_p

Ponieważ pole powierzchni całkowitej jest równe 45\sqrt{3} to możemy wyznaczyć pole podstawy (jednocześnie będącego polem ściany bocznej):

45\sqrt{3}=5P_p/:5

P_p=9\sqrt{3}

W podstawie graniastosłup ma trójkąt równoboczny. Skorzystajmy z wzoru na pole takiego trójkąta, aby wyznaczyć długość boku (jeżeli nie pamiętasz to zajrzyj do tablic maturalnych, albo możesz skorzystać z metody na wyznaczenie tego wzoru

P_p=P_{\triangle}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}/:\sqrt{3}

9=\frac{a^2}{4}/\cdot 4

a^2=36/\sqrt{ }

a=\sqrt{36}=6

Wiedząc, że ściana ma pole także równe 9\sqrt{3}, jest ona prostokątem o bokach a i H (wysokość graniastosłupa), to korzystając z wzoru na pole prostokąta możemy wyznaczyć brakującą wysokość:

P_p=a\cdot H=9\sqrt{3}

6\cdot H=9\sqrt{3}/:6

H=\frac{9}{6}\sqrt{3}=\frac{3}{2}\sqrt{3}

Zostało nam tylko podstawienie do wzoru na objętość:

V=P_p\cdot H=9\sqrt{3}\cdot \frac{3}{2}\sqrt{3}

V=9\cdot 3\cdot \frac{3}{2}=\frac{81}{2}

Odpowiedź:

Objętość graniastosłupa jest równa V=\frac{81}{2}.

Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią


Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

× 8 = 8