Matura 2015 p. podstawowy matematyka - z. 27

Zadanie 27 (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x2-8xy+5y2≥0.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2014/2015 - Matura maj poziom podstawowy

Analiza:

Zauważ, że kwadraty dwóch zmiennych oraz ich iloczyn składają się na wyrażenie bardzo podobne do wzoru skróconego mnożenia:

x2-2xy+y2=(x-y)2

Spróbujmy sprowadzić lewą stronę nierówności do postaci takiej, jak lewa strona wzoru:

4x2-8xy+5y2=4x2-8xy+4y2+y2=4(x2-2xy+y2)+y2

Wyraz 5y2 rozpisaliśmy na sumę 4y2+y2. Z 4(x2-2xy+y2) stosując wzór skróconego mnożenia otrzymujemy:

4(x2-2xy+y2)=4(x-y)2

Ostatecznie otrzymujemy:

4x2-8xy+5y2=4(x-y)2+y2

Wyrazy 4(x-y)2 i y2 zawsze są większe od zera. Stąd wynika, że ich suma też jest większa od zera. Co należało udowodnić:

4x2-8xy+5y2=4(x-y)2+y2≥0


Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

maj

 


 

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

 

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią


Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

28 + = 29