Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 13

Zadanie 13 (0-1)

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=√2, a2=2√2, a3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)

B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)

D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2017/2018 - Matura maj poziom podstawowy


Analiza:

Rozwiązanie formalne:

Analizujemy ciąg geometryczny, dlatego też musimy sprawdzić ile wynosi iloraz \(q\) między sąsiednimi wyrazami. Wiedząc, że \(q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) dla \(n>1\). Wynika to bezpośrednio z definicji ciągu geometrycznego, której zapis macie w tablicach - strona 3.

\(q=\frac{a_2}{a_1}\)

\(q=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\)

\(q=\frac{a_3}{a_2}\)

\(q=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2\)

Ogólny wyraz ciągu możemy zapisać z definicji:

\(a_n=a_1 q^{n-1}\)

\(a_n=\sqrt{2} \cdot 2^{n-1}\)

Jak narazie to jeszcze nie przypomina wyniku. Zauważ, że mnożąc \(2^{n-1}\) przez \(1\) nie zmieniasz wyniku, a jedynkę możesz zapisać jako \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\). Otrzymamy:

\(a_n=\sqrt{2} \cdot 2^{n-1} \cdot 1 = \color{red}{\sqrt{2}} \cdot 2^{n-1} \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}= 2^{n-1} \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}= 2^{n-1} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\sqrt{2}}\)

Korzystając z własności potęgowania ostatecznie otrzymujemy:

\(a_n= \color{red}{2^{n-1}} \cdot \frac {\color{red}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\color{red}{2^{n-1}\cdot{2^1}}}{\sqrt{2}}=\frac{\color{red}{2^{n-1+1}}}{\sqrt{2}}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

Rozwiązanie mniej formalne:

A teraz na chłopski rozum:

Będziemy podstawiać. Sprawdźmy czy uzyskamy wyraz drugi znając wyraz pierwszy. Najpierw pod odpowiedź A

\(a_2=(\sqrt{2}^2)=2 \color{red}{\neq} 2\sqrt{2}\)

Nie otrzymaliśmy zakładanego drugiego wyrazu. Odpowiedź [strong]A[strong] jest błędna.

Sprawdźmy identycznie odpowiedź B:

\(a_2=\frac{2^2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot 1= \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} \color{green}{= 2\sqrt{2}}\)

Otrzymaliśmy wyraz drugi ciągu. Sprawdźmy jeszcze trzeci dla pewności:

\(a_3=\frac{2^3}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}} \cdot 1= \frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} \color{green}{= 4\sqrt{2}}\)

Odpowiedź B jest prawidłowa, reszty odpowiedzi sprawdzać nie musimy.

Odpowiedź:

A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)

B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)

D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 13
5 (100%) 1 głos[ów]

Matura 2018 - poziom podstawowy

2018

Zadanie na chwilę obecną niedostępne


Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2018 - poziom podstawowy
5 (100%) 2 głos[ów]

Matura 2017 - poziom podstawowy

2017

Zadanie na chwilę obecną niedostępne


Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2017 - poziom podstawowy
5 (100%) 4 głos[ów]

Matura 2016 - poziom podstawowy

2016

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Poniżej odnośniki do zadań:

Zadanie na chwilę obecną niedostępne


Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2016 - poziom podstawowy
5 (100%) 1 głos[ów]

Matura 2015 - poziom podstawowy

2015

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Poniżej odnośniki do zadań:

Zadanie na chwilę obecną niedostępne


Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2015 - poziom podstawowy
Oceń tą treść

Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 13
5 (100%) 1 głos[ów]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.