Matura 2016 p. podstawowy matematyka - z. 30

Zadanie 30 (0-2)

Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2+2n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2015/2016 - Matura maj poziom podstawowy

Analiza:

Napiszmy wzory na dwa kolejne wyrazy ciągu. Pierwszy mamy podany w zadaniu:

an=2n2+2n

Kolejny wyraz dla n+1 opisujemy wzorem:

an+1=2(n+1)2+2(n+1)

Dodajmy oba wyrazy:

an+an+1=2n2+2n+2(n+1)2+2(n+1)

an+an+1=2n2+2n+2(n2+2n+1)+2n+2

an+an+1=2n2+4n+2n2+4n+2+2

an+an+1=4n2+8n+4

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a2+2ab+b2=(a+b)2

an+an+1=(2n+2)2

Ostatnie równanie dowodzi założenia zadania - "suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej."

Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią


Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

× 3 = 15