Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 32

Zadanie 32 (0-5)

W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10.5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2017/2018 - Matura maj poziom podstawowy

Analiza:

Kąt \(\angle ABC\) jest kątem prostym. Załóżmy, że punkty \(A\) i \(B\) leżą na prostej \(p\), punkty \(B\) i \(C\) leżą na prostej \(q\). Wiemy, że aby prosta \(p\) była prostopadła do prostej \(q\) (to jest warunek kąta prostego \(\angle ABC\)} to ich równania muszą spełniać zależność (patrz tablice maturalne równania prostych prostopadłych):

\(\left\{ \begin{array}{ll}y_p=ax_p+b \\y_q=-\frac{1}{a}x_q+c \\ \end{array} \right.\)

Równanie prostej \(p\) wyznaczymy podstawiając punkty  \(A\) i \(B\) do ogólnego równania prostej \(y=ax+b\).

Dla \(A=(\underbrace{\color{red}{4}}_{x},\underbrace{\color{green}{3}}_{y})\) mamy:

\(\color{green}{3}=\color{red}{4}a+b\).

Dla \(B=(\underbrace{\color{red}{10}}_{x},\underbrace{\color{green}{5}}_{y})\) mamy:

\(\color{green}{5}=\color{red}{10}a+b\).

Otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

\(\left\{ \begin{array}{ll}5=10a+b\\3=4a+b \\ \end{array} \right.\)

Odejmijmy stronami:

\(5-3=10a+b-4a-b\)

\(2=6a\)

\(a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Podstawmy do \(3=4a+b\) \(a=\frac{1}{3}\):

\(3=\frac{1}{3}\cdot 4+b\)

\(3=\frac{4}{3}+b\)

\(b=3-1\frac{1}{3}\)

\(b=1\frac{2}{3}\).

Równanie prostej \(p\) na której leżą punkty \(A\) i \(B\) wygląda następująco:

\(y=\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}\)

Teraz znając wzór opisującą prostą \(\) możemy wyznaczyć równanie prostej \(q\) z zależności:

\(y_q=-\frac{1}{a}x_q+c\)

\(y_q=-\frac{1}{\frac{1}{3}}x_q+c\)

\(y_q=-3x_q+c\)

Do prostej \(q\) należy punkt \(B\). Podstawmy jego współrzędne. Otrzymamy wtedy wyraz wolny \(c\).

\(5=-3\cdot 10+c\)

\(5=-30+c\)

\(c=35\)

Równanie \(q\) po podstawieniu \(c\) ma postać:

\(y=-3x+35\).

Dobrze. Zmierzamy to finiszu. Teraz w miejscu przecięcia prostych \(q\) i \(y=2x+3\) znajduję się punkt \(C\). To rozwiążmy układ równań na który składają się oba równania prostych:

\(\left\{ \begin{array}{ll}y=-3x+35\\y=2x+3 \\ \end{array} \right.\)

Odejmując stronami otrzymujemy:

\(y-y=-3x+35-2x-3\)

\(0=-5x+32\)

\(5x=32\)

\(x=\frac{32}{5}\)

To \(y\) możemy wyliczyć z \(y=-3x+35\).

\(y=-3\frac{32}{5}+35\)


\(y=-\frac{96}{5}+\frac{175}{5}\)

\(y=\frac{79}{5}\).


Odpowiedź:

Punkt \(C\) ma współrzędne \((\frac{32}{5},\frac{79}{5})\)

Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 32
5 (100%) 1 głos[ów]

Matura 2018 - poziom podstawowy

2018

Zadanie na chwilę obecną niedostępne


Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2018 - poziom podstawowy
4.6 (92%) 5 głos[ów]

Matura 2017 - poziom podstawowy

2017

Zadanie na chwilę obecną niedostępne


Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2017 - poziom podstawowy
5 (100%) 6 głos[ów]

Matura 2016 - poziom podstawowy

2016

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Poniżej odnośniki do zadań:

Zadanie na chwilę obecną niedostępne


Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2016 - poziom podstawowy
5 (100%) 1 głos[ów]

Egzaminy maturalne - archiwum

2015

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie chwilowo niedostępne


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzaminy maturalne - archiwum
Oceń tą treść

Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 32
5 (100%) 1 głos[ów]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.